3차원 단위 구의 좌표조각사상
📂기하학 3차원 단위 구의 좌표조각사상 공식 3차원 공간의 단위 구는 아래와 같은 6개의 좌표조각사상으로 표현된다. ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 } (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
x ( 0 , 0 , 1 ) ( u , v ) = ( u , v , 1 − u 2 − v 2 ) x ( 0 , 0 , − 1 ) ( u , v ) = ( u , v , − 1 − u 2 − v 2 ) x ( 0 , 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , 1 − u 2 − v 2 , v ) x ( 0 , − 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , − 1 − u 2 − v 2 , v ) x ( 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( 1 − u 2 − v 2 , u , v ) x ( − 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( − 1 − u 2 − v 2 , u , v )
\begin{align*}
\mathbf{x} _{(0,0,1)}(u, v) &= \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) \\
\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) &= \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) \\
\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) &= \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right) \\
\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) &= \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right) \\
\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) &= \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) \\
\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) &= \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)
\end{align*}
x ( 0 , 0 , 1 ) ( u , v ) x ( 0 , 0 , − 1 ) ( u , v ) x ( 0 , 1 , 0 ) ( u , v ) x ( 0 , − 1 , 0 ) ( u , v ) x ( 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) x ( − 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( u , v , 1 − u 2 − v 2 ) = ( u , v , − 1 − u 2 − v 2 ) = ( u , 1 − u 2 − v 2 , v ) = ( u , − 1 − u 2 − v 2 , v ) = ( 1 − u 2 − v 2 , u , v ) = ( − 1 − u 2 − v 2 , u , v )
설명 좌표조각사상 은 우리가 생각하는 곡면이라는 개념을 수학적으로 표현한 것이다. 그러면 실제로 곡면이 어떻게 좌표 조각 사상으로 표현되는지 구체적인 예로 확인해보자. 3차원 공간상의 단위 구면을 생각해보자. 그러면 다음과 같이 정의되는 좌표조각사상 x ( 0 , 0 , 1 ) : R 2 → R 3 \mathbf{x} _{(0,0,1)} : \R^{2} \to \R^{3} x ( 0 , 0 , 1 ) : R 2 → R 3
x ( 0 , 0 , 1 ) ( u , v ) = ( u , v , 1 − u 2 − v 2 ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
\mathbf{x} _{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) ,\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
x ( 0 , 0 , 1 ) ( u , v ) = ( u , v , 1 − u 2 − v 2 ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
이 좌표조각은 구면의 z > 0 z \gt 0 z > 0
x ( 0 , 0 , − 1 ) ( u , v ) = ( u , v , − 1 − u 2 − v 2 ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
x ( 0 , 0 , − 1 ) ( u , v ) = ( u , v , − 1 − u 2 − v 2 ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
는 z < 0 z \lt 0 z < 0 x y − xy- x y − x ( 0 , 0 , 1 ) , x ( 0 , 0 , − 1 ) \mathbf{x}_{(0,0,1)}, \mathbf{x}_{(0,0,-1)} x ( 0 , 0 , 1 ) , x ( 0 , 0 , − 1 )
이제 좌표조각사상을 더 가져와서 적도까지 커버해보자.
x ( 0 , 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , 1 − u 2 − v 2 , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 } x ( 0 , − 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , − 1 − u 2 − v 2 , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
\\ \mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
x ( 0 , 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , 1 − u 2 − v 2 , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 } x ( 0 , − 1 , 0 ) ( u , v ) = ( u , − 1 − u 2 − v 2 , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
위의 두 좌표조각으로 구의 옆면을 아래의 왼쪽 그림과 같이 표현할 수 있다.
얼핏 생각하면 이러한 네 좌표조각으로 구면을 완전히 표현할 수 있을 것 같지만 그렇지 않다. 위의 오른쪽 그림에서 표시한 두 점 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) ( − 1 , 0 , 0 ) (-1, 0, 0) ( − 1 , 0 , 0 )
x ( 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( 1 − u 2 − v 2 , u , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 } x ( − 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( − 1 − u 2 − v 2 , u , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
\\ \mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}
x ( 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( 1 − u 2 − v 2 , u , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 } x ( − 1 , 0 , 0 ) ( u , v ) = ( − 1 − u 2 − v 2 , u , v ) , ( u , v ) ∈ U = { ( u , v ) : u 2 + v 2 < 1 }
이제 위에서 정의한 6개의 좌표조각으로 3차원 단위 구를 표현할 수 있으며, 구의 모든 점은 적어도 하나의 좌표조각으로 표현된다.
