유계 선형 작용소의 확장 정리
정리1 2
$V_{1}, V_{2}$를 바나흐 공간이라고 하자. $W \subset V_{1}$를 조밀 부분공간이라고 하자. 그리고 $T : W \to V_{2}$를 유계 선형 작용소라고 하자. 그러면 모든 $\mathbf{v} \in W$에 대해서 $\widetilde{T}(\mathbf{v}) = T(\mathbf{v})$를 만족하는 유계 선형 작용소
$$ \widetilde{T} : V_{1} \to V_{2} $$
가 유일하게 존재한다. 또한 다음이 성립한다.
$$ \| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\| $$
설명
$\widetilde{T}$를 $T$의 확장이라 한다.
정리에서 $\widetilde{T}$가 구체적으로 어떻게 생겼는지는 말하지 않았지만, 증명 과정에서 구체적으로 주어지게 된다. 조밀한 부분공간에서 확장이 가능한 만큼 수열의 수렴을 통해 정의된다. 이렇게 확장시킨 작용소 $\widetilde{T}$는 자연스럽게 $T$로 표기하여 사용하기도 한다.
유계선형작용소 $T : W \to V$와 $\mathbf{w} \in \overline{W}\setminus W$가 있을 때, $T \mathbf{w}$를 정의하고 싶지만 $T$의 정의역은 $W$로 제한되므로 불가능하다. 이때 $\mathbf{w}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$는 $W$에 존재하므로 $T \mathbf{w}$를 ‘간접적’으로 다음과 같이 그럴듯하게 정의할 수 있다.
$$ T (\mathbf{w}) := \lim \limits_{k \to \infty} T(\mathbf{w}_{k}) $$
이를 말로 풀어쓰면 다음과 같다.
$\mathbf{w}$는 원래 $T$의 정의역에 속해있지 않으므로 $T \mathbf{w}$를 정의할 수 없다. 하지만 $\mathbf{w}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$가 $T$의 정의역안에 있다. 따라서 $\mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}$일 때 $T \mathbf{w}_{k} \to T \mathbf{w}$일테니 $T \mathbf{w} := \lim\limits_{k\to \infty}T \mathbf{w}_{k}$와 같이 정의하면 자연스럽고 그럴듯하다. 그리고 이것이 실제로 가능하다.
따라서 어떤 바나흐 공간 $W$에서 정의된 유계선형작용소 $T : W \to V$는 $W$에서 $V$로의 매핑을 유지한채로 $W$의 클로져 $\overline{W}$까지는 위와 같은 방식으로 정의역을 확장시킬 수 있음 위 정리로부터 보장된다.
증명
$\mathbf{v} \in V_{1}$이라고 하자. $W$가 $V_{1}$에서 조밀하다고 가정했으므로, $\mathbf{v}$로 수렴하는 수열 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$가 존재한다.
$$ \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v} $$
$T$가 유계이고 선형이므로 $\ell, k \in \N$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v}_{\ell} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell} \right\| $$
이때 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$가 코시수열이므로 위 식에 의해서 $\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}$도 코시수열이 된다. 따라서 $V_{2}$는 바나흐 공간이므로 $\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}$는 $V_{2}$내의 어떤 원소로 수렴하게 된다. 이로부터 $\widetilde{T}$를 다음과 같이 정의하자.
$$ \widetilde{T} \mathbf{v} := \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k} $$
그러면 모든 $\mathbf{v} \in W$에 대해서는 유계선형작용소의 성질에 의해 $T \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}$가 성립하므로, $\widetilde{T} \mathbf{v} = T \mathbf{v}$를 만족한다. 이제 $\mathbf{v} \in V_{1}\setminus W$인 경우에 대해서 생각해보자.
Part 1. 수열의 선택에 대한 무관함
$\mathbf{v}$로 수렴하는 $W$의 두 수열 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}, \left\{ \mathbf{u}_{k} \right\}$를 생각해보자. 만약 $\mathbf{v}$가 $W$내의 원소였다면 $T$가 유계선형작용소이므로, $\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in W$일 때 $T \mathbf{v}_{k}$와 $T \mathbf{u}_{k}$가 같은 값 $T \mathbf{v}$로 수렴함이 보장된다. 하지만 $\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in V_{1}\setminus W$인 경우에는 이러한 성질을 사용할 수 없으므로, 같은 값으로 수렴하는지 직접 확인해봐야한다.
이제 다음과 같은 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$를 생각해보자.
$$ \left\{ \mathbf{w}_{k} \right\} = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{u}_{2}, \dots \right\} $$
그러면 $\lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v}$가 성립하고, $T \mathbf{w}_{k}$도 어떤 값 $\widetilde{T} \mathbf{v} = \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{w}_{k}$로 수렴한다. 그런데 $T \mathbf{v}_{k}$와 $T \mathbf{u}_{k}$는 $T\mathbf{w}_{k}$의 부분수열이므로 둘 다 같은 극한값을 가져야한다. 따라서 $\mathbf{v}$로 수렴하는 어떤 수열을 가져와도 $\widetilde{T} \mathbf{v}$는 유일하게 결정된다.
Part 2. 선형성
$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V_{1}$이고 $\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}, \mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}$라고 하자.
$$ \begin{align*} \widetilde{T} \left( \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} \right) =&\ \lim \limits_{k \to \infty} T \left( \alpha \mathbf{v}_{k} + \beta \mathbf{w}_{k} \right) \\ =&\ \alpha \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{v}_{k} ) + \beta \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{w}_{k} ) \\ =&\ \alpha \widetilde{T} \left(\mathbf{v}\right) + \beta \widetilde{T} \left(\mathbf{w} \right) \end{align*} $$
Part 3. 유계, $\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|$
$\mathbf{v} \in V_{1}$이고 $\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}$라고 하자. 놈은 연속이므로 극한이 안팎으로 움직일 수 있다. 이 사실과 $T$가 유계임을 이용하면,
$$ \begin{align*} \left\| \widetilde{T} \mathbf{v} \right\| =&\ \left\| \lim \limits_{k \to \infty} T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ \le& \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*} $$
따라서 $\widetilde{T}$는 유계이고, $\| \widetilde{T} \| \le \left\| T \right\|$가 성립한다. 이제 반대방향 부등호가 성립함을 보이자. 우선 $\mathbf{v} \in W$인 벡터들에 대해서는 다음이 성립한다.
$$ \| \widetilde{T} \mathbf{v} \| = \| T \mathbf{v} \| \le \| T \| \| \mathbf{v} \| $$
하지만 $\mathbf{v} \in V_{1} \setminus W$인 경우에 위와 같이 $\| T \|$에 의해서 바운드되지 않는 벡터가 있을 수 있다. 따라서 $\| \widetilde{T} \| \ge \left\| T \right\|$가 성립한다는 사실을 알 수 있다. 따라서 양쪽으로의 부등호가 성립하므로 다음을 얻는다.
$$\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|$$
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