📂미분적분학

벡터 필드의 선적분

정의¹

벡터 필드 $\mathbf{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$와 3차원 공간 상의 곡선 $C$가 $\mathbf{r}(t)$와 같이 주어졌다고 하자. $\mathbf{T}$를 벡터 필드의 탄젠트 필드라고 하자. 그러면 곡선 $C$를 따르는 $\mathbf{F}$의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

$$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}\left( \mathbf{r}(t) \right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) dt = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds$$

설명

벡터 필드의 선적분을 정의하는 빌드업은 곡선의 길이나 스칼라 필드의 선적분을 정의하는 빌드업과 다를 바 없으니 참고하도록 하자.

물리적 의미

벡터 필드 $\mathbf{F}$가 힘이고 곡선 $C$가 물체가 이동한 경로이면, 벡터 필드의 선 적분은 일^work 그 자체이다.

$$W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} ds$$