📂미분적분학

스칼라 필드의 선적분

평면 곡선위의 선적분¹

빌드업

$y = f(x)$와 같이 주어진 함수의 정적분은 $x$축을 따라서 함숫값 $f(x)$들을 모두 더하는 아이디어로 정의되어있다. 따라서 $x$축 위의 직선을 따라서 적분값을 구하게 된다.

이제 이변수함수 $z=f(x,y)$를 생각해보자. 일변수함수일때와는 달리 변수가 $xy-$평면 위를 움직이므로 적분 구간은 반드시 직선일 필요가 없다. 얼마든지 자유로운 모양의 선을 따라서 $z=f(x,y)$의 적분을 생각할 수 있다. 이제 매개변수 방정식 $x=x(t), y=y(t), a\le t \le b$로 표현되는 매끄러운 곡선 $C$가 아래의 그림과 같이 주어졌다고 하자.

점 $P_{i}$들로 나누어진 부분 호의 길이를 $\Delta s_{i}$, 그 안의 임의의 점을 $(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast})$라고 하자. 그러면 곡선 $C$를 따라가는 $f$ 그래프의 면적은 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$ \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast})\Delta s_{i} $$

$n$이 커질수록 실제 넓이에 점점 가까워질 것이다.

정의

$C$를 매개변수 방정식 $x=x(t), y=y(t), a\le t \le b$로 표현되는 매끄러운 곡선이라고 하자. $f$를 $C$ 위에서 정의된 함수라고 하자. 만약 아래의 극한이 존재하면, 이를 $C$를 따라가는 $f$의 선 적분^{line integral of $f$ along $C$}이라고 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \int_{C} f(x,y) ds = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast})\Delta s_{i} $$

설명

곡선의 길이

$$ L = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \dfrac{d x}{d t} \right)^{2} + \left( \dfrac{d y}{d t} \right)^{2}} dt $$

이는 곡선의 길이를 구할 때 함숫값 $f(x,y)$를 가중치로 곱해준 것으로 생각할 수 있다. 따라서 다음의 식을 얻는다.

$$ \int_{C} f(x,y) ds = \int_{a}^{b} f\left( x(t), y(t) \right)\sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}dt $$

또한 $\mathbf{r}(t) = \left( x(t), y(t) \right)$라고 두면 $\mathbf{r}^{\prime} = \left( x^{\prime}(t), y^{\prime}(t) \right)$이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \int_{C} f(x,y) ds =&\ \int_{a}^{b} f\left( x(t), y(t) \right)\sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2}}dt \\ =&\ \int_{a}^{b} f\left( \mathbf{r}(t) \right) \left| \mathbf{r}^{\prime}(t) \right| dt \end{align*} $$

다음과 같이 곡선의 길이 $ds$가 아니라 각 좌표축에서의 길이 $dx, dy$로 적분하는 것을 생각할 수 있다.

$$ \begin{align*} \int_{C} f(x,y) dx =&\ \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast})\Delta x_{i} = \int_{a}^{b} f\left( x(t), y(t) \right) x^{\prime}(t) dt \\ \int_{C} f(x,y) dy =&\ \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast})\Delta y_{i} = \int_{a}^{b} f\left( x(t), y(t) \right) y^{\prime}(t) dt \end{align*} $$

이러한 꼴은 벡터 필드의 선적분에서 만날 수 있다.

공간 곡선위의 선적분

3차원 함수의 선적분도 2차원 선적분과 같은 방식으로 자연스럽게 정의된다.

정의

$C$를 매개변수 방정식 $x=x(t), y=y(t), z=z(t), a\le t \le b$로 표현되는 매끄러운 곡선이라고 하자. $f$를 $C$ 위에서 정의된 함수라고 하자. 만약 아래의 극한이 존재하면, 이를 $C$를 따라가는 $f$의 선 적분이라고 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \int_{C} f(x,y,z) ds = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(x_{i}^{\ast}, y_{i}^{\ast}, z_{i}^{\ast})\Delta s_{i} $$

설명

2차원일 때의 공식 역시 3차원일 때도 성립한다.

$$ \int_{C} f(x,y,z) ds = \int_{a}^{b} f\left( x(t), y(t), z(t) \right)\sqrt{\left(\dfrac{d x}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d y}{d t}\right)^{2} + \left(\dfrac{d z}{d t}\right)^{2}}dt $$