📂다변수벡터해석

방향 도함수의 정의

빌드업

다변수 함수 $f = \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$이 주어졌다고 하자. $f$의 도함수를 구하려고하면, 일변수함수일 때는 하지않았던 ‘어느 방향’ 으로의 변화율인지에 대해서 생각해야한다. 익숙한 예로 편 도함수가 있다. 편 도함수는 하나의 변수에 대해서만 변화율을 생각한 것이다. 가령 $f=f(x,y,z)$의 $y$ 변수에 대한 편 도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$는 $f$의 함숫값의 변화를 $(0,1,0)$의 방향으로만 생각해준 것이다.

방향 도함수는 여기서에서 나아가 각각의 변수에 대한 방향이 아닌 임의의 방향으로의 변화율을 생각하기 위한 개념이다.

정의¹

다변수 함수 $f = \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$와 단위 벡터 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$이 주어졌다고 하자. 다음의 극한이 존재하면 이를 $\mathbf{x}$에서 $f$의 $\mathbf{u}$ 방향으로의 방향 도함수^{directional derivative}라고 하며, $\nabla_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})$라고 표기한다.

$$ \nabla _{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) := \lim \limits _{t \to 0} \dfrac{f (\mathbf{x} + t \mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{t} $$

설명

편미분

$$ \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x}) = \lim \limits _{t \to 0} \dfrac{f (\mathbf{x} + t \mathbf{e}_{i}) - f(\mathbf{x})}{t} $$

방향 도함수의 정의는 편미분의 정의에서 각 변수의 방향을 의미하는 $\mathbf{e}_{i}$가 임의의 방향 $\mathbf{u}$로 바뀐 것 뿐이다. 이렇게 일반화하고 보면 편 도함수는 방향 도함수의 특별한 경우라는 것을 알 수 있다.

다음과 같은 표기법들이 쓰인다.

$$ \nabla _{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) = f_{\mathbf{u}}^{\prime}(\mathbf{x}) = D _{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}) = \partial_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x}) = \dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(\mathbf{x}) $$

고정된 단위 벡터 $\mathbf{u}$가 있다고 하자. 그러면 $f$가 주어질 때 마다 $\nabla _{\mathbf{u}}f$가 결정되므로 벡터 $\mathbf{u}$ 자체를 하나의 오퍼레이터라고 볼 수도 있다. 따라서 $\mathbf{u}f$나 $\mathbf{u}[f]$와 같은 표기도 쓰인다. 특히 미분기하학에서 탄젠트 벡터를 오퍼레이터처럼 다루며 “탄젠트 벡터 = 미분” 과 같이 생각한다. 같이보기를 참고하자.

아래에서 소개할 정리로부터 방향 도함수는 편 도함수들로 표현이 가능하다는 것을 알 수 있다.

또한 방향 도함수의 값이 가장 클 때는 $\mathbf{u}$가 그래디언트 $\nabla f$와 방향이 같을 때라는 것을 보일 수 있고, 따라서 $\nabla f$의 방향은 $f$의 변화율이 가장 큰 방향과 같다. 그러므로 그래디언트의 표기에서 $\nabla$에 아래첨자가 없는 이유를 변화율이 가장 큰 '그 방향'에 대한 방향 도함수이기 때문이라고 생각할 수 있다.

정리

$f$의 방향 도함수 $\nabla _{\mathbf{u}} f$와 그래디언트 $\nabla f$ 사이에 다음의 식이 성립한다.

$$ \nabla _{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} u_{1} + \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} u_{2} + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}} u_{n} $$

증명

$g (t) = f (\mathbf{x} + t \mathbf{u})$라고 하자. $g$의 도함수를 구해보면, 스칼라 함수의 도함수는 그래디언트이므로, 연쇄법칙에 의해

$$ g^{\prime} (t) = f ^{\prime} (\mathbf{x} + t \mathbf{u}) \cdot \mathbf{u} = \nabla f (\mathbf{x} + t \mathbf{u}) \cdot \mathbf{u} $$

그러면 다음을 얻는다.

$$ g^{\prime} (0) = \nabla f (\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u} $$

또한 방향 도함수의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \nabla _{\mathbf{u}} f = \lim \limits _{t \to 0} \dfrac{f (\mathbf{x} + t \mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{t} = \lim \limits _{t \to 0} \dfrac{ g(t) - g(0)}{t} = g^{\prime}(0) = \nabla f (\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u} $$

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같이보기

• 미분기하학에서 방향 도함수
• 리만기하학에서 탄젠트 벡터