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가우스 적분의 일반화 📂보조정리

가우스 적분의 일반화

공식1

정수 n≥0n \ge 0에 대해서 다음의 식이 성립한다.

  • 짝수 차수 다항식이 곱해진 경우 ∫−∞∞x2ne−αx2dx=(2n)!n!22nπα2n+1 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

∫0∞x2ne−αx2dx=(2n)!n!22n+1πα2n+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

  • 홀수 차수 다항식이 곱해진 경우

∫−∞∞x2n+1e−αx2dx=0 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx = 0

∫0∞x2n+1e−αx2dx=n!2αn+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{n!}{2 \alpha^{n+1}}

설명

가우스 적분

∫−∞∞e−αx2dx=πα \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

가우스 적분의 일반화로 볼 수 있다.

곱해지는 다항식의 차수가 홀수이면 기함수이므로 실수 전체 범위에 대한 적분은 항상 00이다.

증명

짝수

가우스 적분의 양 변을 α\alpha로 미분하자. 그러면 라이프니츠 규칙에 의해 다음이 성립한다.

ddα(∫−∞∞e−αx2dx)=∫−∞∞∂∂αe−αx2dx=ddαπα \dfrac{d}{d\alpha}\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial }{\partial \alpha}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{d}{d\alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

  ⟹  ∫−∞∞−x2e−αx2dx=−12πα3 \implies \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}

α\alpha에 대해서 한 번 더 미분하면 다음을 얻는다.

∫−∞∞−x2x2e−αx2dx=−1232πα5 \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{5}}}

  ⟹  ∫−∞∞x2⋅2e−αx2dx=1⋅322πα5 \implies \int_{-\infty}^{\infty} x^{2\cdot2}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{1 \cdot 3}{2^{2}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{5}}}

α\alpha에 대해서 한 번 더 미분하면 다음을 얻는다.

∫−∞∞−x2x2⋅2e−αx2dx=−1⋅32252πα7 \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{2\cdot2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1 \cdot 3}{2^{2}}\dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{7}}}

  ⟹  ∫−∞∞x2⋅3e−αx2dx=1⋅3⋅523πα7 \implies \int_{-\infty}^{\infty} x^{2\cdot3}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^{3}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{7}}}

연속된 홀수의 곱

정수 n≥0n \ge 0에 대해서 다음이 성립한다.

(2n−1)⋅(2n−3)⋯5⋅3⋅1=(2n)!2n(n!)=(2n−1)!! (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!!

따라서 위 공식에 의해 다음과 같이 일반화된다.

∫−∞∞x2ne−αx2dx=(2n!)n!22nπα2n+1 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{(2n!)}{n!2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

x2ne−αx2x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}는 우함수이므로 적분 범위가 절반이면 값도 절반이다.

∫0∞x2ne−αx2dx=(2n!)n!22n+1πα2n+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{(2n!)}{n!2^{2n+1}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

■

홀수

우선 αx2≡y\alpha x^{2} \equiv y와 같이 치환하면 2αxdx=dy2\alpha x dx = dy이므로 n=0n=0일 때의 식은 다음과 같다.

∫0∞xe−αx2dx=12α∫0∞e−ydy \int_{0}^{\infty} xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1}{2\alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-y}dy

위 식의 우변은 감마함수를 이용하여 Γ(1)=∫0∞y0e−ydy=1\Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} y^{0} e^{-y}dy = 1임을 알 수 있다. 따라서 다음의 식을 얻는다.

∫0∞x1e−αx2dx=12α=0!2α1 \int_{0}^{\infty} x^{1}e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1}{2\alpha} = \dfrac{0!}{2\alpha^{1}}

짝수일 때와 마찬가지로 양 변을 α\alpha로 미분하면 다음과 같다.

∫0∞−x2xe−αx2dx=−12α2 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2\alpha^{2}}

  ⟹  ∫0∞x3e−αx2dx=1!2α2 \implies \int_{0}^{\infty} x^{3}e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1!}{2\alpha^{2}}

α\alpha에 대해서 한 번 더 미분하면 다음을 얻는다.

∫0∞−x2x3xe−αx2dx=−2⋅12α3 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{3}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{2 \cdot 1}{2\alpha^{3}}

  ⟹  ∫0∞x5xe−αx2dx=2!2α3 \implies \int_{0}^{\infty} x^{5}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{2!}{2\alpha^{3}}

α\alpha에 대해서 한 번 더 미분하면 다음을 얻는다.

∫0∞−x2x5xe−αx2dx=−3⋅2!2α4 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{5}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{3 \cdot 2!}{2\alpha^{4}}

  ⟹  ∫0∞x7xe−αx2dx=3!2α4 \implies \int_{0}^{\infty} x^{7}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{3!}{2\alpha^{4}}

따라서 이를 일반화여 표현하면 다음과 같다.

∫0∞x2n+1xe−αx2dx=n!2αn+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n+1}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{n!}{2\alpha^{n+1}}

■

  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p590-591 ↩︎