다양한 삼각함수의 적분법
개요
적분 문제를 풀다보면 삼각함수의 적분을 상당히 많이 하게 된다. 그리고 이 적분법들에 익숙해지면 삼각함수도 다항함수처럼 빠르게 적분할 수 있다.
시컨트 함수의 적분법, 코시컨트 함수의 적분법
$$ \begin{align*} \int \sec x dx =& \int \frac { \sec x (\sec x +\tan x ) }{ (\sec x +\tan x ) }dx \\ =& \int \frac { \sec^{ 2 }x+\sec x \tan x }{ \tan x +\sec x }dx \end{align*} $$ $ (\tan x )\prime =\sec^{ 2 }x$ 이고 $(\sec x )\prime =\sec x \tan x$ 이므로 $$ \int \sec x dx=\ln|\tan x +\sec x |+C $$
위와 같은 방법으로 다음을 얻는다. $$ \int \csc x dx=-\ln|\cot x+\csc x |+C $$
탄젠트 함수의 적분법, 코탄젠트 함수의 적분법
$$ \begin{align*} \int \tan x dx =& \int \frac { \sin x }{ \cos x }dx \\ =& \int \frac { -(-\sin x ) }{ \cos x }dx \end{align*} $$
$(\cos x )\prime =-\sin x$ 이므로
$$ \int \tan x dx=-\ln|\cos x |+C $$
위와 같은 방법으로 다음을 얻는다.
$$ \int \cot xdx=\ln|\sin x |+C $$
사인함수 제곱의 적분법, 코사인함수 제곱의 적분법
$$ \begin{align*} \int \sin^{ 2 }xdx =& \int \frac { 1-\cos2x }{ 2 }dx \\ =& \frac { 1 }{ 2 }(x-\frac { 1 }{ 2 }\sin2x)+C \\ =& \frac { 1 }{ 4 }(2x-\sin2x)+C \end{align*} $$
위와 같은 방법으로 다음을 얻는다.
$$ \int \cos^{ 2 }xdx=\frac { 1 }{ 4 }(2x+\sin2x)+C $$
차수가 $3$ 이상일 경우 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$ 를 이용해 차수를 내린다.
사인함수와 $x$ 의 곱의 적분법, 코사인함수와 $x$ 의 곱의 적분법
$$ \int x\sin x dx = -x\cos x -\int -\cos x dx=\sin x -x\cos x +C $$
$$ \int x\cos x dx=x\sin x -\int \sin x dx=\cos x +x\sin x +C $$
사인함수의 n제곱과 코사인 함수의 곱의 적분법, 코사인함수의 n제곱과 사인함수의 곱의 적분법
$\int \sin^{ n }x\cos x dx$에서 $\sin x =t$ 로 치환하면
$$ \int t^{ n }dt=\displaystyle \frac { \sin^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$
$\int \cos^{ n }x\sin x dx$에서 $\cos x =t$ 로 치환하면
$$ -\int t^{ n }dt=\displaystyle -\frac { \cos^{ n+1 }x }{ n+1 }+C $$