벡터 넓이의 정의와 성질
정의
위 그림과 같이 주어진 면 $S$에 대해서 다음의 적분을 $S$의 벡터 넓이vector area라고 한다.
$$ \mathbf{a} := \int_{\mathcal{S}} d \mathbf{a} $$
설명
예로 반지름이 $R$인 반구의 벡터넓이를 구해보자. $d \mathbf{a} = R^{2}\sin\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{r}}$이다. 여기서
$$ \hat{\mathbf{r}} = \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} $$
인데, 이를 북반구 영역에 대해서 적분하면 $\hat{\mathbf{x}}$, $\hat{\mathbf{y}}$ 성분은 모두 상쇄되어 $\hat{\mathbf{z}}$ 성분만 남는다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi/2} R^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{z}} \\ &= 2\pi R^{2} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta \hat{\mathbf{z}} \\ &= 2\pi R^{2} \dfrac{1}{2} \hat{\mathbf{z}} \\ &= \pi R^{2} \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
$\theta$에 대한 적분은 삼각함수 적분표의 $(1)$에 의해 성립한다.
성질
닫힌 곡면의 벡터 넓이는 항상 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$이다.
테두리가 같은 면의 벡터 넓이는 항상 같다.
다음의 적분이 성립한다. $$ \mathbf{a} = \dfrac{1}{2}\oint \mathbf{r} \times d \mathbf{l} $$
모든 상수벡터 $\mathbf{c}$에 대해서 다음이 성립한다. $$ \oint (\mathbf{c} \cdot \mathbf{r}) d \mathbf{l} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} $$