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델 연산자가 포함된 벡터 적분의 여러 공식

공식¹

$T, U$를 스칼라 함수, $\mathbf{v}$를 벡터 함수라고 하자. 그러면 다음의 식들이 성립한다.

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \int_{\mathcal{S}} \nabla T \times d \mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} T d \mathbf{l} \end{equation} $$

설명

위 공식을 증명하는 것이 그리피스 전자기학 제4판 1단원 61번 연습문제이다.

$(3), (4)$는 그린 정리라고도 불린다.

증명

아래의 모든 증명에서 $\mathbf{c}$는 상수 벡터를 의미한다.

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(1)

발산 정리

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

발산 정리에 $\mathbf{v} = T\mathbf{c}$를 대입하자.

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T\mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

그러면 곱셈규칙 $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$에 의해서 좌변은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$ \int_{\mathcal{V}} T(\nabla \cdot \mathbf{c}) d \tau + \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

이때 좌변의 첫번째 항에서 $\mathbf{c}$가 상수벡터이므로 $\nabla \cdot \mathbf{c}=0$이다. 따라서

$$ \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} (T \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) d \tau =&\ \oint_{\mathcal{S}} T d \mathbf{a} \end{align*} $$

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(2)

발산 정리

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

발산 정리에 $\mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{c}$를 대입하자.

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

그러면 곱셈규칙 $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$에 의해서 좌변은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau - \int_{\mathcal{V}} \mathbf{v} \cdot (\nabla \times \mathbf{c}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

이때 좌변의 두번째 항에서 $\mathbf{c}$가 상수벡터이므로 $\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$이다. 따라서

$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} $$

또한 스칼라 삼중곱 공식과 외적의 성질에 의해서 다음이 성립한다.

$$ (\mathbf{v} \times \mathbf{c}) \cdot d \mathbf{a} = (d \mathbf{a} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{c} = -( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \cdot \mathbf{c} = - \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) $$

이를 위 식의 우변에 대입하면

$$ \begin{align*} \\ && \int_{\mathcal{V}} \mathbf{c} \cdot (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{c} \cdot ( \mathbf{v} \times d \mathbf{a}) \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \\ \implies && \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau =&\ -\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} \end{align*} $$

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(3)

발산 정리

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \cdot \mathbf{v}) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

발산 정리에 $\mathbf{v} = T \nabla U$를 대입하자.

$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (T \nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

그러면 곱셈규칙 $\nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f)$에 의해서 좌변은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$ \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla \cdot (\nabla U) + \nabla U \cdot (\nabla T) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

그래디언트의 다이벌전스는 라플라시안 $\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla$이므로

$$ \int_{\mathcal{V}} \left[ T \nabla^{2} U + (\nabla T) \cdot (\nabla U) \right] d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} $$

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(4)

$(3)$의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla T) \cdot (\nabla U) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau $$

여기서 $T$와 $U$를 바꾸면 다음과 같다.

$$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla U) \cdot (\nabla T) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau $$

위의 두 식을 서로 빼면 다음과 같다.

$$ 0 = \left( \oint_{\mathcal{S}} (T \nabla U) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} T \nabla^{2} U d \tau \right) - \left( \oint_{\mathcal{S}} (U \nabla T) \cdot d \mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}} U \nabla^{2} T d \tau \right) $$

정리하면

$$ \int_{\mathcal{V}} \left( T \nabla^{2} U - U \nabla^{2} T \right) d \tau = \oint_{\mathcal{S}} \left( T \nabla U - U \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} $$

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(5)

스토크스 정리

$$ \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} $$

스토크스 정리에 $\mathbf{v} = T \mathbf{c}$를 대입하자.

$$ \int_{\mathcal{S}} \left[ \nabla \times (T \mathbf{c}) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

그러면 곱셈규칙 $\nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f)$에 의해서 좌변은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \int_{\mathcal{S}} T (\nabla \times \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{a} - \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

이때 좌변의 첫번째 항에서 $\mathbf{c}$가 상수벡터이므로 $\nabla \times \mathbf{c} = \mathbf{0}$이다. 따라서

$$ \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{c} \times (\nabla T) \right] \cdot d\mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} $$

또한 스칼라 삼중곱 공식에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \left( \mathbf{c} \times \nabla T \right) \cdot d \mathbf{a} = \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c} $$

따라서

$$ \begin{align*} && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) \cdot \mathbf{c} = - \oint_{\mathcal{P}} (T \mathbf{c}) \cdot d\mathbf{l} \\ \implies && \mathbf{c} \cdot \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \mathbf{c} \cdot \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \\ \implies && \int_{\mathcal{S}} \left( \nabla T \times d \mathbf{a} \right) = - \oint_{\mathcal{P}} T d\mathbf{l} \end{align*} $$

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