📂편미분방정식

코시 문제, 초기값 문제

정의¹

열린집합 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$에서 정의된 편미분방정식이 주어졌다고 하자. 시간이 $t=0$일 때의 $\Omega$에서 미지수 $u$의 값, 다시 말해 초기값^{initial value}이 주어졌다고 하자. 이러한 편미분방정식의 해를 찾는 문제를 코시 문제^{Cauchy problem} 혹은 초기값 문제^{initial value problem}라고 한다.

설명

약자인 IVP가 흔히 쓰이는 편이다.

예시

가령 열 방정식의 코시 문제를 푼다는 것은 다음과 같은 조건이 주어졌을 때의 해를 찾는 것이다.

$$\left\{ \begin{align*} u_{t} -\Delta u &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \\ u &= g && \text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{align*} \right.$$

같이보기

• 경계값 문제(BVP)