📂편미분방정식

파동 방정식

정의¹

다음의 편미분방정식을 파동 방정식wave equation이라 한다.

$$u_{tt} - \Delta u =0$$

위 식은 파동의 전파 속도를 상수 $1$로 둔 경우이다. 파동의 전파 속도를 $c$라고 하면 파동 방정식은,

$$u_{tt} - c^{2}\Delta u =0$$

비동차^{nonhomogeneous}인 경우에는 다음과 같다.

$$u_{tt} - \Delta u = f$$

• $U \subset \mathbb{R}^{n}$는 열린 집합
• $u : \overline{U}\times [0, \infty) \to \mathbb{R}$
• $t>0$
• $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in U$
• $u=u(x, t)=u(x_{1}, \dots, x_{n}, t)$
• $\Delta$는 라플라시안
• $f:U \times [0, \infty) \to \mathbb{R}$

설명

시간에 대한 2계 미분을 위치에 대한 항으로 바꾸면 헬름홀츠 방정식이 된다.