📂추상대수

추상대수학에서의 가환군

정의 ¹

군 $\left< G, \ast\ \right>$ 의 두 원소 $a, b$ 에 대해 $a \ast\ b = b \ast\ a$ 면 $\left< G, \ast\ \right>$를 가환군^{abelian group}이라 정의한다.

설명

가환은 ‘교환법칙이 성립하는’ 정도의 의미로 받아들이면 좋다. 영칭의 경우 Commutative 대신 Abelian 이라는 말이 붙는데, 이는 천재수학자 아벨에서 따온 말이다. 물론 한칭으로 아벨군이라고 불러도 의미전달 상 전혀 문제는 없다.

가환군쯤되면 이제 상당히 많은 조건을 만족시켰기 때문에 상상하기 어려운 구조는 아니다. 군이 되면서 가환군이 될 수 없는 예시를 보자.

역행렬이 존재하는 정방행렬의 집합 $\text{GL}_{n} (\mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \ | \ \det A \ne 0 \right\}$ 에 대해, 군 $\left< \text{GL}_{n} (\mathbb{R}) , \cdot \right>$ 은 가환군이 아니다.

• 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

보통 행렬의 연산을 접하면서 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 꽤 중요하게 다루었을 것이다. 그만큼 교환법칙은 우리가 일상적으로 다루는 수에서는 당연한 성질이기 때문에 주의하라는 뜻이다. 반대로 말하자면 교환법칙을 만족시키는 예가 상당히 많으며, 그 예들은 보통 우리와 친숙하다는 의미다.

군 $\left< \mathbb{R} , + \right>$ 는 가환군이다.

• 실수의 덧셈은 교환법칙이 성립한다.

우리에게 가장 친숙한 실수만 생각해봐도 그렇고 복소수나 유리수나 정수 등도 마찬가지다. 보통은 군이면서 가환군이 아닌 예시를 찾는게 훨씬 어려운 일이다.