스칼라필드의 라플라시안

정의

스칼라 함수 $u : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$의 그래디언트의 다이벌전스를 라플라시안^Laplacian이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \begin{align*} \Delta u :&= \mathrm{div}(\nabla (u)) \\ &= \mathrm{div} \left( \left( u_{x_{1}}, u_{x_{2}}, \dots, u_{x_{n}} \right) \right) \\ &= u_{x_{1}x_{1}} + u_{x_{2}x_{2}} + \cdots + u_{x_{n}x_{n}} \\ &= \sum _{i=1}^{n} u_{x_{i}x_{i}} \end{align*} $$

여기서 $u_{x_{i}}=\dfrac{\partial u}{\partial x_{i}}$이다.

설명

수학에서는 다이벌전스를 $\mathrm{div}$로 표기하는 일이 잦고, 라플라시안도 주로 $\Delta$로 표기한다. 하지만 물리학에서는 다이벌전스를 $\nabla \cdot$로 표기하기 때문에 라플라시안의 표기는 주로 $\nabla ^{2}$가 사용된다.

$$ \nabla\cdot( \nabla (u))=\nabla^{2}(u) = \nabla^{2}u $$

$D^{2}$를 멀티인덱스 표기법이라 하면, 헤세 행렬의 대각합과도 같다.

$$ \Delta u = \sum_{i=1}^{n} u_{x_{i} x_{i}} = \mathrm{tr} (D^{2}u) $$

3차원 데카르트 좌표계

$$ \Delta f = \nabla ^{2} f = \frac{ \partial^{2} f}{ \partial x^{2} }+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial y^{2}}+\frac{ \partial^{2} f}{ \partial z^{2}} $$