선형변환이 전사, 단사일 필요충분조건
정리11
선형변환 $T: V \to W$에 대해서 다음의 두 명제는 동치이다.
- $T$가 일대일이다.
- $N(T) = \text{ker}(T) = \left\{ \mathbf{0} \right\}$
설명
이는 $T$의 커널을 파악하는 것이 $T$가 일대일인지 아닌지를 판별하는 방법이라는 말이다. 위 정리에 의해서 선형변환이 일대일이라는 것은 다음의 조건과 동치이다.
$$ \mathbf{x} \ne \mathbf{0} \implies T(\mathbf{x}) \ne \mathbf{0} $$
증명
$(\implies)$
$T$가 일대일이라고 가정하자. $T$가 선형변환이므로 다음이 성립한다.
$$ T(\mathbf{0})=\mathbf{0} $$
그런데 $T$가 일대일이라고 가정했으므로 위 식을 만족하는 $V$의 원소는 $\mathbf{0}$이 유일하다. 따라서 다음이 성립한다.
$$ \text{ker}(T) = \left\{ \mathbf{0} \right\} $$
■
$(\impliedby)$
$\text{ker}(T) = \left\{ \mathbf{0} \right\}$라고 가정하자. $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$를 서로 다른 벡터라고 하자. 따라서 $\mathbf{u} - \mathbf{v} \ne \mathbf{0}$이다. 그러면 가정에 의해서 다음이 성립한다.
$$ T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) \ne \mathbf{0} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \mathbf{u} \ne \mathbf{v} \implies T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) $$
그러므로 $T$는 일대일이다.
■
정리2
선형변환 $T: V \to V$에 대해서, $V$가 유한차원이면, 다음의 명제들은 동치이다.
- $T$가 일대일이다.
- $N(T) = \text{ker}(T) = \left\{ \mathbf{0} \right\}$
- $T$가 전사이다. 다시말해 $T$의 치역이 $V$와 같다. $R(T)=V$
설명
이는 정리1에서 $V$가 유한차원이고 $W=V$인 특수한 경우이다. 처음 두 명제가 동치임은 정리1에서 증명되었으므로 첫번째, 세번째 명제가 동치인 것을 증명한다.
증명2
$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $V$의 기저라고 하자. 그러면 모든 $T(\mathbf{v})$는 $T(\mathbf{v}_{i})$들의 선형변환으로 나타나므로 다음의 집합 $Q$가 $R(T)$를 생성한다는 것을 알 수 있다.
$$ Q = \left\{ T(\mathbf{v}_{1}),\dots T(\mathbf{v}_{n}) \right\} $$
여기서 $Q$의 원소의 개수가 $\dim(V)=n$이므로, $Q$가 선형독립인 것은 $Q$가 $V$를 생성하는 것과 동치이다. 그런데 $Q$가 $R(T)$를 생성하므로, $Q$가 선형독립임을 보이는 것은 $R(T)=V$임을 보이는 것과 같다. 따라서 증명은 다음을 증명하는 것으로 바뀐다.
$(\implies)$
$T$가 일대일이라고 가정하자. 그리고 상수 $c_{i}$들이 다음의 식을 만족한다고 하자.
$$ \begin{equation} c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} \label{1} \end{equation} $$
그러면 $T$는 선형변환이므로 다음이 성립한다.
$$ T (c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} $$
$T$가 일대일이라고 가정했으므로, 정리1에 의해, 위 식을 만족하는 $\sum c_{i}\mathbf{v}_{i}$는 오직 $\mathbf{0}$뿐이다.
$$ c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} $$
그런데 $\mathbf{v}_{i}$들은 기저의 원소이므로 위 식을 만족하는 상수들은 오직 $0$ 뿐이다.
$$ c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 $$
그러면 $\eqref{1}$를 만족하는 상수들이 오직 $0$ 뿐이므로 $Q$는 선형독립이다.
■
$(\impliedby)$
$Q$가 선형독립이라고 가정하자. 그리고 상수 $c_{i}$들이 다음의 식을 만족한다고 하자.
$$ c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} $$
그러면 가정에 의해서 위 식을 만족하는 상수들은 오직 $0$ 뿐임을 알 수 있다.
$$ \begin{equation} c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \label{2} \end{equation} $$
그런데 $T$가 선형변환이므로 다음이 성립한다.
$$ T(c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}) = c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} $$
그러면 $\eqref{2}$에 의해 위 식을 만족하는 $\sum c_{i}\mathbf{v}_{i}$는 오직 $\mathbf{0}$ 뿐이다.
$$ T(\mathbf{0}) = T(0\mathbf{v}_{1} + \cdots + 0\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} $$
따라서 정리1에 의해 $T$는 일대일이다.
■