양자역학에서 파동함수의 축퇴란?
정의
양자역학에서 축퇴degeneracy란, 서로 다른(=선형독립인) 두 파동함수가 같은 고유값을 가지는 것을 말한다.
설명
쉽게 말하자면 두 파동함수가 축퇴되어 있다는 것은 두 파동함수의 에너지가 같다는 것이다. 수학적으로 말하자면 고유값의 기하적 중복도가 2이상이라는 것이다.
그리피스 교재에서는 겹침, 겹친 상태라고 한다. 역자에 따르면 1995년 한국물리학회 발간 용어집에서 ‘겹침’이라는 말을 쓰기 전까지 축퇴라 불렀다고 한다. 하지만 겹친 상태라고 말하는 것은 한 번도 보지 못했고, 겹침이라는 말이 일상용어와 겹쳐서 검색 등에 유용하지 않아서 축퇴를 쓰는게 더 낫다고 생각한다.
임의의 연산자 $A$의 두 고유함수를 $\psi_{1}$, $\psi_2$, 고유값을 $a$라고 하자. $\psi_{1}$, $\psi_2$가 축퇴됐다는 말을 수식으로 표현하면 아래와 같다.
$$ A\psi_{1}=a\psi_{1} $$
$$ A\psi_2=a\psi_2 $$
여기서 연산자 $A$가 에너지 연산자인 해밀토니안 $H$라고 한다면 두 파동함수의 에너지(고유값)가 같다는 의미이고 에너지만 봐서는 두 파동함수(=고유함수)를 구별해낼 수 없다는 뜻이다. 사람으로 비교하자면 김철수라는 2명의 인물을 이름만 봐서는 누가 누구인지 구별할 수 없는 것과 같다.
예시
두 파동함수 $\psi_{1}=e^{ikx}$, $\psi_2=e^{-ikx}$에 대해서 고유값 방정식을 풀면,
$$ \begin{align*} H\psi_{1} &= E_{1}\psi_{1} \\ &= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} e^{ikx} \\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}(ik)^2 e^{ikx} \\ &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_{1} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} H\psi_2 &= E_2\psi_2 \\ &= -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} e^{-ikx} \\ &= -\frac{\hbar^2}{2m}(-ik)^2 e^{ikx} \\ &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi_2 \end{align*} $$
두 파동함수의 에너지는 같으므로 축퇴되어있다. 따라서 고유값 방정식을 푸는 것만으로는 두 파동함수를 구별할 수 없다.
$$ E_{1}=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}=E_2 $$