📂기하학

구의 입체각

정의¹

반지름이 $r$, 겉넓이가 $A$인 3차원 부채꼴의 입체각 ^{solid angle} $\Omega$를 다음과 같이 정의하고

$$ \Omega := \dfrac{A}{r^{2}} $$

단위는 스테라디안^steradian이라 하고 $\mathrm{sr}$이라 표기한다.

설명

원에서의 라디안 각도가 다음과 같이 반지름에 대한 호의 비율로 정의되는 것을 생각해보면 자연스러운 정의이다.

$$ \theta := \dfrac{s}{r} $$

다만 분모에 $r$ 대신 $r^{2}$이 들어가는 이유는 호는 반지름에 비례하지만 겉넓이는 반지름 제곱에 비례하기 때문이다. 구의 겉넓이는 $4\pi r^{2}$이므로 입체각은 $4\pi$이다.

$$ \Omega = \dfrac{4 \pi r^{2}}{r^{2}} = 4\pi $$

이는 구면좌표계 부피적분에서 반지름을 제외하고 모든 각도에 대해서 적분한 것과 같으므로 입체각이 잘 정의되었음을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi}\sin\theta d\theta d\phi = 4\pi \end{align*} $$

이제 아래 그림에서와 같이 반지름이 $r=1$인 단위 구를 생각해 보자. 여기에서 특정한 방향이란 $z$축을 말한다.

그러면 각도가 $\theta$인 3차원 부채꼴의 입체각은 다음과 같다.

$$ \Omega (\theta) = \dfrac{A}{r^{2}} = A = \int_{\theta ^{\prime} = 0}^{\theta}\int_{\phi=0}^{2\pi} \sin \theta d\theta d\phi = 2\pi (1-\cos\theta) $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{d\Omega}{d\theta} = 2\pi \sin \theta \implies d\Omega = 2\pi \sin\theta d\theta $$

그래서 구면 좌표계에서 적분할 일이 많은 물리학에서는 다음과 같은 노테이션을 많이 쓴다.

$$ \int_{0}^{\pi} 2\pi \sin\theta d\theta = \int_{0}^{4\pi} d\Omega = 4\pi $$