logo

하이젠베르크의 불확정성 원리 증명 📂양자역학

하이젠베르크의 불확정성 원리 증명

정리1

두 연산자 AA와 BB에 대하여 다음이 성립한다.

σA2σB2≥(12i⟨[A,B]⟩)2 \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2}

이때 σA2\sigma_{A}^{2}는 AA의 분산, [A,B][A, B]는 AA와 BB의 교환자이다.

설명

위의 정리로부터 교환가능하지 않은 두 연산자에 대한 물리량은 동시에 정확히 관측될 수 없다는 사실을 알 수 있다. 물리량 BB가 정확하게 관측된다는 것은 σB2\sigma_{B}^{2}의 값이 줄어든다는 것인데, [A,B]≠0[A, B] \ne 0라면 부등식 좌변에 최솟값이 정해져있고, 이는 σB2\sigma_{B}^{2}가 줄어드는 동시에 σA2\sigma_{A}^{2}의 값이 커진다는 것을 의미한다. 따라서 BB의 물리량을 정확하게 측정하면 측정할수록 AA의 물리량은 더 불확실해진다.

위치와 운동량의 관계

증명

σA2\sigma_{A}^{2}은 정의에 따라 다음과 같다.

σA2=⟨ψ∣(A−⟨A⟩)2∣ψ⟩=⟨(A−⟨A⟩)ψ∣(A−⟨A⟩)ψ⟩ \sigma_{A}^{2} = \braket{\psi | (A - \braket{A})^{2} | \psi} = \braket{(A - \braket{A})\psi | (A - \braket{A})\psi}

편의를 위해 f=(A−⟨A⟩)ψf = (A - \braket{A})\psi라 하자.

σA2=⟨f∣f⟩ \sigma_{A}^{2} = \braket{f | f}

마찬가지로 g=(B−⟨B⟩)ψg = (B - \braket{B})\psi이라 두면,

σB2=⟨g∣g⟩ \sigma_{B}^{2} = \braket{g | g}

코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음을 얻는다.

σA2σB2=⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩≥∣⟨f∣g⟩∣2 \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} = \braket{f | f} \braket{g | g} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2}

또한 임의의 복소수 zz에 대해서 다음이 성립한다.

∣z∣2=ℜz2+ℑz2≤ℑz2=(12i(z−z∗))2 \left| z \right|^{2} = \Re{z}^{2} + \Im{z}^{2} \le \Im{z}^{2} = \left( \dfrac{1}{2\i} (z - z^{\ast}) \right)^{2}

마지막 등식은 z=x+iyz = x + \i y로 두고 직업 계산해보면 쉽게 알 수 있다. 이제 위의 두 부등식으로부터 다음을 얻는다.

σA2σB2≥∣⟨f∣g⟩∣2≥(12i(⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩))2(1) \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left| \braket{f | g} \right|^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} (\braket{f | g} - \braket{g | f}) \right)^{2} \tag{1}

이제 ⟨f∣g⟩\braket{f | g}를 계산해보자.

⟨f∣g⟩=⟨(A−⟨A⟩)ψ∣(B−⟨B⟩)∣ψ⟩=⟨ψ∣(A−⟨A⟩)(B−⟨B⟩)∣ψ⟩=⟨ψ∣AB−A⟨B⟩−⟨A⟩B+⟨A⟩⟨B⟩∣ψ⟩=⟨ψ∣AB∣ψ⟩−⟨B⟩⟨ψ∣A∣ψ⟩−⟨A⟩⟨ψ∣B∣ψ⟩+⟨A⟩⟨B⟩⟨ψ∣ψ⟩=⟨AB⟩−⟨B⟩⟨A⟩−⟨A⟩⟨B⟩+⟨A⟩⟨B⟩=⟨AB⟩−⟨A⟩⟨B⟩ \begin{align*} \braket{f | g} &= \braket{(A - \braket{A})\psi | (B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | (A - \braket{A})(B - \braket{B}) | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB - A\braket{B} - \braket{A}B + \braket{A}\braket{B} | \psi} \\ &= \braket{\psi | AB | \psi} - \braket{B}\braket{\psi | A | \psi} - \braket{A}\braket{\psi | B | \psi} + \braket{A}\braket{B} \braket{\psi | \psi} \\ &= \braket{AB} - \braket{B}\braket{A} - \braket{A}\braket{B} + \braket{A}\braket{B} \\ &= \braket{AB} - \braket{A}\braket{B} \end{align*}

같은 방식으로 ⟨g∣f⟩=⟨BA⟩−⟨A⟩⟨B⟩\braket{g | f} = \braket{BA} - \braket{A}\braket{B}가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

⟨f∣g⟩−⟨g∣f⟩=(⟨AB⟩−⟨A⟩⟨B⟩)−(⟨BA⟩−⟨A⟩⟨B⟩)=⟨AB⟩−⟨BA⟩=⟨AB−BA⟩=⟨[A,B]⟩ \begin{align*} \braket{f | g} - \braket{g | f} &= (\braket{AB} - \braket{A}\braket{B}) - (\braket{BA} - \braket{A}\braket{B}) \\ &= \braket{AB} - \braket{BA} \\ &= \braket{AB - BA}\\ &= \braket{[A, B]} \end{align*}

위 식에서 세번째 등호가 성립하는 이유는 기댓값이 선형이기 때문이다. 이 결과를 (1)에 대입하면 다음을 얻는다.

σA2σB2≥(12i⟨[A,B]⟩)2 \sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \left( \dfrac{1}{2\i} \braket{[A, B]} \right)^{2}

■

같이보기

  1. David J. Griffiths, 양자역학(Introduction to Quantum Mechanics, 권영준 역) (2nd Edition, 2006), p108-109 ↩︎