📂함수

지수함수와 로그함수의 극한

공식

지수함수와 로그함수에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{equation} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\log (x + 1) }{x} = 1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} = 1 \end{equation}$$

증명

$(1)$

$$\begin{align*} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\log (x + 1) }{x} &= \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \log ( x + 1) \\ &= \lim \limits_{x \to 0} \log (x + 1)^{\frac{1}{x}} \\ &= \log\left( \lim \limits_{x \to 0} (x + 1)^{\frac{1}{x}}\right) \\ &= \log\left( e \right) \\ &= \log\left( e \right) \end{align*}$$

세번째 등호는 로그함수가 연속이므로 성립한다. 마지막 등호는 $e$의 정의

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$(2)$

$e^{x}-1 = t$라고 치환하면 $x = \log(t+1)$이므로

$$\begin{align*} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} &= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{ t }{ \log (t+1)} \\ &= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{ 1 }{ \frac{1}{t}\log (t+1)} \\ &= \dfrac{\lim \limits_{t \to 0} 1 }{\lim \limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\log (t+1)} \\ &= \dfrac{1}{1} = 1 \end{align*}$$

세번째 등호는 $\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}$ 이므로 성립한다. 네번째 등호는 $(1)$에 의해 성립한다.

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