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오일러 상수, 자연 상수 e의 정의 📂해석개론

오일러 상수, 자연 상수 e의 정의

정의1

아래의 급수의 극한을 상수 ee라고 정의한다.

e:=∑n=0∞1n! e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}

설명

저 값이 당장에 뭔지는 몰라도 위의 급수가 수렴하여 어떤 극한이 존재한다는 사실은 쉽게 보일 수 있다. 부분합 sns_{n}은 아래와 같이 유계이면서 증가수열이므로 수렴한다.

sn=1+1+12+12⋅3+12⋅3⋅4+⋯+11⋅2⋅⋯⋅n<1+1+12+12⋅2+12⋅2⋅2+⋯12⋅2⋅⋯⋅2⏟n−1=1+1+12+122+123+⋯12n−1<1+1+1<3 \begin{align*} s_{n} &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n} \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} + \cdots \dfrac{1}{\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2}_{n-1}} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \cdots \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &< 1 + 1 + 1 < 3 \end{align*}

정리

lim⁡n→∞(1+1n)n=e \lim _{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e

혹은

lim⁡n→0(1+n)1n=e \lim _{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} = e

이를 정의라고 두어도 상관없다. Wade의 교재2에서는 이와 같이 정의한다.

증명

sn=∑k=0n1k!,tn=(1+1n)n s_{n} = \sum \limits _{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!},\quad t_{n}=\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}

이라고 하자.

이항정리

(x+y)n=∑r=0nnCrxnyn−r (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{n} y^{n-r}

그러면 이항정리에 의해 다음이 성립한다.

tn=nC0⋅1+nC11n+nC21n2+nC31n3+⋯+nCn1nn=1+n1n+nC21n2+nC31n3+⋯+nCn1nn=1+1+12!n(n−1)1n2+13!n(n−1)(n−2)1n3+⋯+1n!n(n−1)⋯2⋅11nn=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n) \begin{align*} t_{n} &= {_{n}C_{0}} \cdot 1 + {_{n}C_{1}} \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + n \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}n(n-1)\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + \dfrac{1}{n!}n(n-1)\cdots 2 \cdot 1\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \end{align*}

따라서 ∀n∈N,tn≤sn\forall n\in \mathbb{N}, t_{n} \le s_{n}이고 아래의 식이 성립한다.

lim sup⁡n→∞tn≤lim sup⁡n→∞sn=lim⁡n→∞sn=e \begin{equation} \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \le \limsup \limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} = e \end{equation}

또한 n≥mn \ge m이면 다음이 성립한다.

tn≥1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1m!(1−1n)(1−2n)⋯(1−m−1n) t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right)

참고로 우변이 tmt_{m}인 것은 아니고 tnt_{n}에서 뒷부분의 몇 개의 항을 뺀 것이다. 이제 고정된 mm에 대해서 lim inf⁡n→∞\liminf \limits_{n \to \infty}을 취하면 다음의 식을 얻는다.

lim inf⁡n→∞tn≥1+1+12!+13!+⋯+1m! \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots + \dfrac{1}{m!}

이제 다시 양변에 m→∞m \to \infty인 극한을 취하면 다음과 같다.

lim inf⁡n→∞tn≥e \begin{equation} \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge e \end{equation}

그러면 lim sup⁡\limsup과 lim inf⁡\liminf의 정의, 그리고 (1)(1), (2)(2)에 의해서 다음이 성립한다.

lim sup⁡n→∞tn≤e≤lim inf⁡n→∞tn  ⟹  lim inf⁡n→∞tn=e=lim sup⁡n→∞tn  ⟹  lim⁡n→∞tn=e \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \le e \le \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \implies \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} = e = \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \implies \lim \limits_{n\to \infty} t_{n} = e

같이보기

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p63-64 ↩︎

  2. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p 114-115 ↩︎