함수의 합성
정의
함수 $f: X \to Y$, $g: f(X) \to Z$에 대해서 다음과 같이 정의되는 $h: X \to Z$를 $f$와 $g$의 합성composition of $g$ with $f$이라고 하고 $h=g \circ f$라고 표기한다.
$$ h(x) = (g\circ f) (x) := g\left( f(x) \right) $$
설명
합성 $g \circ f$는 $x$에 $f$를 먼저 적용하고, 그 결과에 $g$를 적용하는 함수이다. 기호를 읽는 순서(왼쪽에서 오른쪽)와 함수가 적용되는 순서가 반대라는 것에 주의하자. 정의에서 $g$의 정의역을 $f$의 상 $f(X)$로 두었으나, $g$의 정의역이 $f(X)$를 포함하기만 하면 합성은 똑같이 정의된다. 흔히는 간단하게 $g : Y \to Z$로 둔다.
함수의 합성은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 $f(x) = x + 1$, $g(x) = x^{2}$인 두 함수 $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ (g \circ f)(x) = (x+1)^{2} \ne x^{2} + 1 = (f \circ g)(x) $$
반면 함수 $h : Z \to W$가 더 주어졌을 때 결합법칙은 항상 성립한다.
$$ \left( (h \circ g) \circ f \right)(x) = h \left( g \left( f(x) \right) \right) = \left( h \circ (g \circ f) \right)(x) $$
따라서 괄호를 생략하고 $h \circ g \circ f$라 적어도 무방하다.
성질
함수 $f : X \to Y$, $g : Y \to Z$가 주어졌다고 하자.
단사·전사의 보존: $f$와 $g$가 모두 단사이면 $g \circ f$도 단사이고, 모두 전사이면 $g \circ f$도 전사이다. 따라서 둘 다 전단사이면 $g \circ f$도 전단사이며, 그 역함수는 순서가 뒤집힌 합성으로 주어진다.
$$ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} $$
항등원: 항등함수 $I_{X}$, $I_{Y}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ f \circ I_{X} = f = I_{Y} \circ f $$
특히 $X$에서 $X$로의 함수 전체의 집합은 합성에 대해 닫혀 있고 결합법칙이 성립하며 항등원 $I_{X}$를 가지므로 모노이드를 이룬다.
미분: $f$와 $g$가 미분가능하면 합성함수 $g \circ f$도 미분가능하고, 그 도함수는 연쇄법칙으로 주어진다.
$$ (g \circ f)^{\prime}(x) = g^{\prime}\left( f(x) \right) f^{\prime}(x) $$