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선형대수에서 사영정리 📂선형대수

선형대수에서 사영정리

정리1

WW가 유한차원 내적공간 VV의 부분공간이면 모든 u∈V\mathbf{u} \in V는 다음과 같은 식으로 유일하게 표현된다.

u=w1+w2 \begin{equation} \mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \end{equation}

이때 w1∈W\mathbf{w}_{1} \in W이고 w2∈W⊥\mathbf{w}_{2} \in W^{\perp} 이다.

설명

정리의 w1\mathbf{w}_{1}와 w2\mathbf{w}_{2}는 각각 다음과 같이 표기하기도 한다.

w1=projWuandw2=projW⊥u \mathbf{w}_{1} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} \quad \text{and} \quad \mathbf{w}_{2} = \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u}

또한 이러한 w1\mathbf{w}_{1}, w2\mathbf{w}_{2}를 각각 WW로의 u\mathbf{u}의 정사영orthogonal projection of u\mathbf{u} on WW, 직교사영, W⊥W^{\perp}로의 u\mathbf{u}의 정사영이라 부른다. (1)(1)은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

u=projWu+projW⊥u \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u}

u=projWu+(u−projWu) \mathbf{u} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} + (\mathbf{u} - \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u})

  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p366-367 ↩︎