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푸리에 변환의 여러가지 의미 📂푸리에해석

푸리에 변환의 여러가지 의미

푸리에 변환은 수학, 물리학, 공학 등 광범위한 분야에서 다루는 만큼 어떻게 바라보느냐에 따라서 서로 다른 의미를 지니게 된다. 크게 수학, 양자역학, 신호처리에서의 의미를 소개한다. 우선 푸리에 변환과 역변환은 여러 꼴로 정의되므로 이 글에서 말하는 푸리에 변환이란 다음과 같다고 하자.

f^(ξ):=∫−∞∞f(t)e−iξxdx \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi x}dx

수학에서

기본적으로 수학에서 말하는 푸리에 변환은 커널이 e−iξxe^{-i\xi x}인 적분 변환이다. 함수공간에서 내적은 적분으로 정의되므로 ff의 푸리에 변환은 ff와 eiξxe^{i\xi x}의 내적으로 생각할 수 있다.

f^(ξ)=⟨f,eiξx⟩ \begin{equation} \hat{f}(\xi) = \langle f, e^{i\xi x} \rangle \end{equation}

아래에서 다시 설명하겠지만 신호 ff의 푸리에 변환을 구했을 때 ff에 포함된 주파수 ξ\xi를 알 수 있는 것도 이러한 의미 때문이다. 그런데 여기에서 커널 eiξxe^{i \xi x}에 조금 더 의미를 부여할 수 있다. 선형 작용소로서의 라플라시안을 생각해보자.

Δϕ=∇2ϕ=λϕ \Delta \phi = \nabla ^{2} \phi = \lambda \phi

위 식을 만족하는 λ\lambda를 라플라시안의 고유값, ϕ\phi를 λ\lambda에 대응하는 라플라시안의 고유벡터라고 한다. 두 번 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 지수함수 eiξxe^{i\xi x}이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

∇2eiξx=(−ξ2)eiξx \nabla ^{2} e^{i\xi x} = (-\xi^{2}) e^{i\xi x}

그러므로 eiξxe^{i\xi x}는 라플라시안의 고유벡터이고, (1)(1)을 다음과 같이 설명할 수 있다.

ff의 푸리에 변환 == ff와 라플라시안의 고유벡터의 내적

그래프 신호 처리에서는 위의 해석을 토대로 그래프 푸리에 변환을 정의한다.

신호처리에서

ff의 푸리에 급수란, ff를 다음과 같이 지수함수의 급수로 전개한 것을 말한다.

f(t)=∑ω=−∞∞cωeiωt f(t) = \sum \limits_{\omega=-\infty}^{\infty} c_{\omega}e^{i\omega t}

이때 [오일러 등식]에 의해서 eiωt=cos⁡(ωt)+isin⁡(ωt)e^{i \omega t} = \cos (\omega t) + i \sin (\omega t)가 성립하므로 tt는 시간, ω\omega는 파동의 주파수(진동수와 같은 말이다)를 의미한다. 그런데 위에서 설명했듯이 ff의 푸리에 변환이란 ff와 eiωte^{i\omega t}를 내적한 것과 같다. 그런데 서로 다른 주파수 ω\omega, ω′\omega^{\prime}를 가진 지수함수는 서로 수직이므로, ff와 eiωte^{i \omega t}를 내적하면 주파수가 다른 항 e−iω′te^{-i \omega^{\prime} t}들은 전부다 00이되고 eiωte^{i \omega t}의 계수만 남는다.

f^(ω)=⟨f,eiξx⟩=⟨∑ω=−∞∞cξeiωt⟩=∣cω∣2 \begin{equation} \hat{f}(\omega) = \langle f, e^{i\xi x} \rangle = \left\langle \sum \limits_{\omega=-\infty}^{\infty} c_{\xi}e^{i\omega t} \right\rangle = | c_{\omega} |^{2} \label{signalprocess} \end{equation}

따라서 ff의 푸리에 변환 f^(ω)\hat{f}(\omega)를 계산해서 f^(ω)≠0\hat{f}(\omega) \ne 0인 ω\omega를 찾으면 그 ω\omega가 바로 신호 ff에 포함된 신호 중 하나라는 말이다. 가령 신호 ff가 다음과 같다고 하자.

f(t)=2sin⁡(2π50t)+1.7sin⁡(2π100t)+0.3cos⁡(2π200t)+4cos⁡(2π300t) f(t) = 2\sin (2\pi 50t) + 1.7\sin (2\pi 100t) + 0.3 \cos (2\pi 200t) + 4\cos(2\pi 300 t)

Fourier.png

f^\hat{f}을 계산해보면 아래의 그림과 같고, ff를 구성하는 주파수에서 함숫값이 00이 아닌 것을 확인할 수 있다.

Fourier2.png

따라서 푸리에 변환이란 어떤 신호 ff를 시간과 주파수, 두 영역에서 바라볼 수 있게 만들어주는 도구라고 생각할 수 있다.

양자역학에서

양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식과 파동함수로 작은 입자들의 운동을 설명한다. 파수가 kk이고, 각진동수가 ω\omega인 파동함수는 위치와 시간에 따라서 다음과 같이 표현된다.

ψ(x,t)=eikx−ωt \psi (x,t) = e^{i kx -\omega t}

그런데 드브로이 관계식에 의하면 파수와 운동량은 k=pℏk = \dfrac{p}{\hbar}를 만족하고, 에너지와 각진동수는 ω=Eℏ\omega = \dfrac{E}{\hbar}를 만족하므로 파동함수는 아래와 같다.

ψ(x,t)=eiℏ(px−Et) \psi (x,t) = e^{\frac{i}{\hbar} (px - Et)}

따라서 위의 설명들을 그대로 적용하면, 파동함수는 푸리에 변환에 의해서 운동량-위치 도메인을 왔다갔다하고, 에너지-시간 도메인을 왔다갔다한다. 다시말해 푸리에 변환은 파동함수를 운동량과 위치(에너지와 시간)라는 두 관점에서 바라볼 수 있게 해주는 도구이다.