선형함수
정의
함수 $f : X \to Y$가 다음의 두 조건을 만족하면 선형linear이라고 한다. $x,x_{1},x_{2}\in X$, $a \in \mathbb{R}$에 대해서,
- $f(ax) = af(x)$
- $f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2})$
설명
선형이 아니면 비선형nonlinear이라 한다. 두 조건을 한데 묶어 다음과 같이 표현하기도 한다
$$ f(ax_{1} + x_{2}) = af(x_{1}) + f(x_{2}) $$
2.에서 등식이 아니라 같거나 작다$\le$가 성립하면 준선형이라 한다.
쌍선형
이변수 함수 $f = f(x,y)$가 각각의 변수에 대해서 선형이면, 쌍선형bilinear이라 한다.
다중선형
다변수 함수 $f= f(x_{1}, \dots, x_{n})$가 각각의 변수에 대해서 선형이면, 다중선형multilinear이라 한다.
$\mathbb{R}$-선형
위의 정의처럼 스칼라를 $a \in \mathbb{R}$와 같이 실수에서 고른다는 것을 명시할 때 $\mathbb{R}$-선형$\mathbb{R}$-linear이라 한다. 실벡터공간 사이의 선형변환이 이에 해당한다. 일반적으로 스칼라체가 $\mathbb{F}$이면 $\mathbb{F}$-선형이라 부른다.
$\mathbb{C}$-선형
스칼라를 복소수에서 골라, 모든 $a \in \mathbb{C}$에 대해서 $f(az) = af(z)$가 성립하면 $\mathbb{C}$-선형$\mathbb{C}$-linear이라 한다. 실수는 복소수이므로 $\mathbb{C}$-선형이면 자동으로 $\mathbb{R}$-선형이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 켤레 복소수를 주는 함수 $f(z) = \overline{z}$가 그 반례로, 실수 $a$에 대해서는 $\overline{az} = a\overline{z}$이라 $\mathbb{R}$-선형이지만 아래와 같이 허수단위 $i$에 대해서는 등식이 깨진다.
$$ f(iz) = \overline{iz} = \overline{i}\overline{z} = -i\overline{z} = -if(z) $$