복소함수의 Wirtinger 도함수
빌드업
복소 함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$가 주어졌다고 하자. 복소수 $z=x+iy$는 두 실수 $x,y \in \mathbb{R}$의 선형결합이므로 함수 $f$를 두 실수를 변수로 갖는 함수로 생각할 수 있다. 또한 두 실함수 $u,v : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$를 사용하여 $f$의 함숫값을 아래와 같이 실수부분, 허수부분으로 나누어 표현할 수 있다.
$$ f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y) $$
그러면 $f$의 전미분은 다음과 같다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} df &= du + i dv \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x}dx + \dfrac{\partial u}{\partial y}dy \right) + i \left( \dfrac{\partial v}{\partial x}dx + \dfrac{\partial v}{\partial y}dy \right) \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)dy \end{aligned} \end{equation} $$
$dz$, $d\bar{z}$로부터 $dx, dy$를 구하면 다음과 같다.
$$ \begin{cases} dz = dx + idy \\ d\bar{z} = dx -idy \end{cases} \implies \begin{cases} dx = \dfrac{dz + d\bar{z}}{2} \\ dy = \dfrac{dz - d\bar{z}}{2i} \end{cases} $$
이를 $(1)$에 대입하고 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \begin{align*} df &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)dy \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)\left( \dfrac{dz + d\bar{z}}{2} \right) + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\left( \dfrac{dz - d\bar{z}}{2i} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \right) -i \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\right]dz \\ &\quad+ \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \right) + i \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial x} - i \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial y}\right]dz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial x} + i \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial y}\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} - i \dfrac{\partial f}{\partial y}\right]dz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} + i \dfrac{\partial f}{\partial y}\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right]fdz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right]fd\bar{z} \end{align*} $$
이때 첫번째 항의 상수와 괄호를 $\dfrac{\partial }{\partial z}$라고 표기하고, 두번째 항의 괄호를 $\dfrac{\partial }{\partial \bar{z}}$라고 표기하면 다음과 같이 복소 함수 $f$의 전미분을 자연스럽게 표현할수 있다.
$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial z}dz + \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z} $$
정의
$x,y \in \mathbb{R}$, $z=x+iy$라고 하자. 복소함수 $f :\mathbb{C} \to \mathbb{C}$가 실함수 $u,y : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$에 대해서 $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$와 같이 표현된다고 하자. 미분 연산자 $\dfrac{\partial }{\partial z}$, $\dfrac{\partial }{\partial \bar{z}}$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial }{\partial z} & := \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) \\ \dfrac{\partial }{\partial \bar{z}} & := \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) \end{align*} $$
이를 (켤레) Wirtinger 미분 연산자(conjugate) Wirtinger differential operator라고 하고, $\dfrac{\partial f}{\partial z}, \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}$를 (켤레) Wirtinger 도함수(conjugate) Wirtinger derivative라고 한다.
설명
Wirtinger 미분 연산자를 $z$, $\bar{z}$에 대입해보면 다음과 같다.
$$ \dfrac{\partial z}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x+iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 1 $$
$$ \dfrac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x-iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 1 $$
$$ \dfrac{\partial z}{\partial \bar{z}} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x+iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 0 $$
$$ \dfrac{\partial \bar{z}}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x-iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 0 $$
위의 결과로부터 Wirtinger 미분 연산자는 마치 $z$와 $\bar{z}$가 서로 독립인 변수처럼 다루는 것이라고 해석할 수 있다. 실제로 $f(z)=\bar{z}$라고 하면 $f$는 모든 $z$에 대해서 미분 불가능이기 때문에 $\dfrac{df}{dz}$는 존재하지 않는다. 하지만 Wirtinger 연산자는 정의에 의해 $\bar{z}$가 포함된 함수도 미분할 수 있으며 그 결과도 미분이라 부르기에 자연스럽다는 것을 알 수 있다. 정칙함수에 대해서 살펴보면 그 의미가 기존의 미분의 의미와 완전히 같기 때문에 복소기하에서는 Wirtinger 미분을 기본으로 다룬다고 한다.
정칙함수에 대해서
$f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$가 정칙 함수라고 하자. 그러면 Wirtinger 도함수는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial z} &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} -i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) (u + iv) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( u_{x} + v_{y} + i(-u_{y} + v_{x}) \right) \end{align*} $$
미분가능한 복소함수는 코시-리만 방정식을 만족하므로 위 식은 다음과 같다.
$$ \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( u_{x} + u_{x} + i(v_{x} + v_{x}) \right) = u_{x} + i v_{x} $$
그런데 복소함수의 도함수는 $f^{\prime} = \dfrac{df}{dz} = u_{x} + iv_{x}$이므로 다음의 식이 성립한다.
$$ \dfrac{\partial f}{\partial z} = u_{x} + i v_{x} = \dfrac{df}{dz} $$
따라서 미분가능한 함수 $f$에 대해서는 $\dfrac{\partial }{\partial z}$가 $\dfrac{d}{dz}$와 완벽하게 같은 의미를 가지게 된다. 이제 방정식 $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$를 풀어보자.
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} +i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) (u + iv) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( u_{x} - v_{y} + i(u_{y} + v_{x}) \right) \\ &= 0 \end{align*} $$
실수부와 허수부가 모두 $0$이어야 하므로 다음의 식을 얻는다.
$$ \implies \begin{cases} u_{x} = v_{y} \\ u_{y} = - v_{x} \end{cases} $$
이는 코시-리만 방정식과 같다. 따라서 $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$라는 식 자체가 $f$가 코시-리만 방정식을 만족한다는 말과 같다. 다시말해 다음의 명제는 모두 동치이다.
- $f$가 정칙(해석적)이다.
- $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$
- $f$가 $\overline{z}$에 의존하지 않는다.
비정칙함수에 대해서
$\overline{z}$가 포함된 함수, 예를들어 절댓값 $f(z) = \left| z \right|$을 생각해보자. 이러한 함수들을 최적화하기위해 변화율을 알고싶다고 하자. 하지만 $f$는 미분 불능이므로 $\dfrac{df}{dz}$를 계산할 수 없고, $f$를 어떻게 최적화해야하는지 알 수 없다. 이 때 Wirtinger 미분을 사용하면 기울기라고 부를만한 것을 계산할 수 있다.
$$ \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial z\overline{z}}{\partial z} = \overline{z} $$
실제로 통신 등의 공학에서 이러한 테크닉을 사용한다.
성질
미분이라고 불리기 위해서 응당히 가져야할 성질들도 잘 갖고 있음을 확인할 수 있다.
선형성:
$$ \dfrac{\partial (af + g)}{\partial z} = a\dfrac{\partial f}{\partial z} + \dfrac{\partial g}{\partial z} $$
$$ \dfrac{\partial (af + g)}{\partial \overline{z}} = a\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}} $$
곱의 미분:
$$ \dfrac{\partial (fg)}{\partial z} = \dfrac{\partial f}{\partial z}g + f\dfrac{\partial g}{\partial z} $$
$$ \dfrac{\partial (fg)}{\partial \overline{z}} = \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}}g + f\dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}} $$
연쇄 법칙
$$ \dfrac{\partial (f \circ g)}{\partial z} = \dfrac{\partial f}{\partial w} \dfrac{\partial g}{\partial z} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{w}} \dfrac{\partial \overline{g}}{\partial z} $$
$$ \dfrac{\partial (f \circ g)}{\partial \overline{z}} = \dfrac{\partial f}{\partial w} \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{w}} \dfrac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}} $$
이것 외에도,
$$ \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial z \partial \overline{z}} = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}\right) = \dfrac{1}{4}\Delta f $$
$$ \dfrac{d (f \circ \phi)}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial z} \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} \dfrac{\partial \overline{\phi}}{\partial t} $$
이때 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$이다.