가우스 곡률에 따른 회전면의 분류
📂기하학 가우스 곡률에 따른 회전면의 분류 개요 회전면 은 가우스 곡률 의 부호에 따라서 세 종류로 분류된다. 각 분류 내에서 동일한 곡률을 갖는 곡면들은 전역적인global , 외재적 인 특성이 다르다 할지라도, 같은 국소적인local 내재적 특징을 갖는다. 다시말해 (전역적으로는 아니라 할 지라도) 국소적으로는 등거리 이다.
설명 r > 0 r> 0 r > 0 α ( s ) = ( r ( s ) , z ( s ) ) \boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right) α ( s ) = ( r ( s ) , z ( s ) ) 단위 속력 곡선 이라고 하자. 그리고 α \boldsymbol{\alpha} α 회전면 을 M M M
M = { ( r ( s ) cos θ , r ( s ) sin θ , z ( s ) ) : 0 ≤ θ ≤ 2 π , s ∈ ( s 0 , s 1 ) }
M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\}
M = { ( r ( s ) cos θ , r ( s ) sin θ , z ( s ) ) : 0 ≤ θ ≤ 2 π , s ∈ ( s 0 , s 1 ) }
M M M 좌표조각사상 x \mathbf{x} x
x ( s , θ ) = ( r ( s ) cos θ , r ( s ) sin θ , z ( s ) )
\mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right)
x ( s , θ ) = ( r ( s ) cos θ , r ( s ) sin θ , z ( s ) )
α \boldsymbol{\alpha} α α ′ = ( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 = 1 \boldsymbol{\alpha}^{\prime} = (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1 α ′ = ( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 = 1 z ′ = ± 1 − ( r ′ ) 2 z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} z ′ = ± 1 − ( r ′ ) 2 기본적인 성질 들은 다음과 같다.
[ g i j ] = [ 1 0 0 r 2 ]
\begin{bmatrix}
g_{ij}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix}
[ g ij ] = [ 1 0 0 r 2 ]
[ L i j ] = [ r ′ z ′ ′ − z ′ r ′ ′ 0 0 r z ′ ]
\begin{bmatrix}
L_{ij}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime} & 0 \\ 0 & rz^{\prime} \end{bmatrix}
[ L ij ] = [ r ′ z ′′ − z ′ r ′′ 0 0 r z ′ ]
α \boldsymbol{\alpha} α
( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 = 1 ⟹ 2 r ′ r ′ ′ + 2 z ′ z ′ ′ = 0 ⟹ z ′ z ′ ′ = − r ′ r ′ ′
(r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1 \implies 2r^{\prime}r^{\prime \prime} + 2z^{\prime}z^{\prime \prime} = 0 \implies z^{\prime}z^{\prime \prime} = - r^{\prime}r^{\prime \prime}
( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 = 1 ⟹ 2 r ′ r ′′ + 2 z ′ z ′′ = 0 ⟹ z ′ z ′′ = − r ′ r ′′
따라서 가우스 곡률은,
K = ( r ′ z ′ ′ − z ′ r ′ ′ ) ( ( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 ) 2 z ′ r = r ′ z ′ z ′ ′ − r ′ ′ ( z ′ ) 2 r = − ( r ′ ) 2 r ′ ′ − r ′ ′ ( 1 − ( r ′ ) 2 ) r = − r ′ ′ r
\begin{align*}
K = \dfrac{(r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime})}{((r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2})^{2}} \dfrac{z^{\prime}}{r}
&= \dfrac{r^{\prime}z^{\prime}z^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(z^{\prime})^{2}}{r} \\
&= \dfrac{-(r^{\prime})^{2}r^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(1-(r^{\prime})^{2})}{r} \\
&= \dfrac{-r^{\prime \prime}}{r} \\
\end{align*}
K = (( r ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 ) 2 ( r ′ z ′′ − z ′ r ′′ ) r z ′ = r r ′ z ′ z ′′ − r ′′ ( z ′ ) 2 = r − ( r ′ ) 2 r ′′ − r ′′ ( 1 − ( r ′ ) 2 ) = r − r ′′
회전면은 가우스 곡률의 부호에 따라서 분류된다. a > 0 a > 0 a > 0
