📂선형대수

선형변환

정의¹

함수 $T : V \to W$가 벡터공간에서 벡터공간으로의 사상일 때, 즉 $V$, $W$가 벡터공간일 때 $T$를 변환^{transformation}이라고 한다.

변환 $T$가 선형 함수이면, 즉 모든 $\mathbf{v},\mathbf{u} \in V$와 상수 $k$에 대해서 다음의 두 조건을 만족하면 선형변환^{linear transformation}이라고 한다.

• $T(k \mathbf{u}) = k T(\mathbf{u})$
• $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$

특별히 $W=\mathbb{C}$이면 $T$를 선형 범함수라고 한다.

설명

함수, 사상, 변환은 사실상 다 같은 말이라고 생각하면 된다. 다만 선형대수학, 함수해석학 등 벡터공간에서 벡터공간으로의 사상을 다룰 때는 주로 변환이라고 하고 transformation의 앞글자를 따와서 $T$라고 표기한다.

유한차원에서 유한차원으로의 선형변환의 경우 행렬곱과 같이 취급하므로 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$ T(\mathbf{x}) = T\mathbf{x} $$

$T : V \to V$인 선형변환을 $V$ 위에서의 선형작용소^{linear operator on $V$}라고 부르기도 한다. 하지만 반드시 정의역과 공역이 같아야만 작용소라고 부르는 것은 아니다. 경제적인 이유로 여러 교재에서는 $T : V \to V$를 선형작용소라고 정의한다.

$$ \text{linear transformation form } V \text{ to } V \to \text{linear operator on } V $$

벡터공간 $X$에서 $Y$로의 모든 선형변환들의 집합을 $L(X, Y)$와 같이 표기한다.²

$$ L(X,Y) = \mathcal{L}(X, Y) := \left\{ T : X \to Y\enspace |\enspace T \text{ is linear } \right\} $$

행렬변환은 선형변환의 한 종류이다.

항등변환

선형변환 $I : V \to V$가 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서

$$ I(\mathbf{v}) = \mathbf{v} $$

를 만족하면 항등 변환^{identity transformation}이라고 한다. 구체적으로 $I_{V}$라 표기하기도 한다.

영변환

선형변환 $T_{0} : V \to W$가 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서

$$ T_{0}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W} $$

를 만족하면 영 변환^{zero transformation}이라고 한다. 이때 $\mathbf{0}_{W}$는 $W$의 영 벡터이다. $O$, $0$ 등으로도 표기한다. 쉽게 말해서 영함수이다.

성질

$T : V \to W$가 선형변환이면 다음이 성립한다.

(a) $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

(b) 모든 $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$에 대해서, $T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})$

증명

(a)

벡터공간의 성질에 의해서 $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$이므로,

$$ T(\mathbf{0}) = T( 0\mathbf{u}) = 0T(\mathbf{u}) = \mathbf{0} $$

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(b)

마찬가지로 벡터공간의 성질에 의해 $-\mathbf{v} = (-1)\mathbf{v}$이므로,

$$ \begin{align*} T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) &= T \big( \mathbf{u} + (-1)\mathbf{v} \big) \\ &= T(\mathbf{u}) + T\big( (-1)\mathbf{v} \big) \\ &= T(\mathbf{u}) + (-1)T(\mathbf{v}) \\ &= T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) \end{align*} $$

■