행렬변환

정의

$\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$으로의 함수가 $m \times n$ 행렬 $A$에 대해서 다음과 같이 매핑될 때 이를 행렬변환^{matrix transformation}이라 하고 $T_{A} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$와 같이 표기한다.

$$ \mathbf{w} = T_{A} (\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\quad \left( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{m} \right) $$

$\mathbf{x} \overset{T_{A}}{\to} \mathbf{w}$와 같이 나타내기도 한다.

이 매핑을 행렬 표현으로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$

선형 시스템 꼴로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} w_{1} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\ w_{2} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} \\ &\vdots \\ w_{m} &= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} \end{align*} $$

설명

행렬변환은 선형변환의 한 종류이다.