📂행렬대수

행렬의 랭크, 무효차수

정리¹

행렬 $A$의 행공간과 열공간의 차원은 같다.

증명

$R$을 $A$의 행사다리꼴 행렬이라고 하자. 기본 행 연산은 $A$의 행공간의 차원과 열공간의 차원을 바꾸지 않으므로 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \dim \big( \mathcal{R}(A) \big) &= \dim \big( \mathcal{R}(R) \big) \\ \dim \big( \mathcal{C}(A) \big) &= \dim \big( \mathcal{C}(R) \big) \end{align*} $$

따라서 $R$의 행공간과 열공간의 차원이 같음을 보이면 충분하다. 그런데 $R$의 행공간은 선도 1이 있는 행, $R$의 열공간은 선도 1이 있는 열으로 생성되므로 $R$의 행공간과 열공간의 차원은 같다.

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정의

행렬 $A$의 행공간(열공간)의 차원을 랭크^rank라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \text{rank}(A) = \dim \mathcal{R}(A) = \dim \mathcal{C}(A) $$

행렬 $A$의 영공간의 차원을 무효차수^nullity라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \text{nullity}(A) = \dim \mathcal{N}(A) $$

설명

랭크는 계수, 무효차수는 퇴화차수라고 번역되기도 한다.

한편 $\text{rank}(A)$는 $A$를 행사다리꼴로 만들었을 때 피벗의 갯수로 정의할 수도 있다.

정사각행렬이 아닌 $m \times n$ 행렬 $A$를 생각해보자. 그러면 행공간은 아무리 커봐야 $n$차원이고, 열공간은 아무리 커봐야 $m$차원이다. 그런데 이 두 값이 같고 그것이 랭크이므로 다음이 성립한다.

$$ \rank(A) \le \min(m,n) $$

$\rank(A) = \min(m,n)$인 경우 $A$가 풀 랭크^{full rank}를 가진다고 한다. 풀 랭크를 가지지 않으면 랭크 디피션트^{rank deficient}라고 한다.

직관적으로 이해가 잘 되지 않는다면 연립방정식의 미지수를 세는 데에서 도출된 개념이라고 생각해보면 도움이 될 것이다.정의 자체는 전혀 어렵지 않지만 $ m \ne n$ 인 경우 책을 보기 아주 어렵게 만드는 개념들이다.

특히 영공간이나 계수, 퇴화차수는 순화가 몹시 난해하게 되어있어 원서로 공부한 사람은 뜻을 짐작하기도 힘든 수준이다. 이러한 개념을 공부하는 이유는 후에 이어지는 선형대수학의 응용들을 수학의 언어로써 쉽게 표현하기 위해서다. 복잡한 이론이 전개될 때 열공간이나 영공간 등에 대한 정의는 지면을 상당히 아껴주고 보다 복잡한 현상들을 커버해준다.

참고로 열공간은 $\text{Im} (A)$, 즉 상^image 로도 불린다. 행렬 $A$를 함수의 개념으로 생각한다면 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대응되는 함수 $T_{A}$를 $T_{A} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$으로도 볼 수 있기 때문이다.

다음의 랭크-무효차수 정리도 마찬가지로 함수의 개념으로 생각하면 이해가 쉽다. $\text{rank} A = \text{rank} A^{T}$임을 잊지 말자.

랭크-무효차수 정리

행렬 $A \in M_{ m \times n }(\mathbb{R})$에 대해 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \text{rank} (A) + \text{nullity} (A) &= \dim \mathbb{R}^{n} = n \\ \text{rank} (A^{T}) + \text{nullity} (A^{T}) &= \dim \mathbb{R}^{m} = m \end{align*} $$

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행렬의 차원정리라고도 한다. 선형변환에 대해서 일반화하면 다음과 같다.

벡터 공간 $V, W$ 와 선형변환 $T : V \to W$에 대해 다음의 식이 성립한다.

$$ \text{rank} (T) + \text{nullity} (T) = \dim (V) $$

증명

$A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 $A$의 열이 $n$개 이므로 동차 선형 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$는 $n$개의 미지수를 가진다. 따라서 ‘선도변수의 수 + 자유변수의 수 = $n$‘이 성립한다. 선도변수의 수는 선도 1의 수와 같고 이는 행공간의 차원과 같다. 또한 자유변수의 수는 매개변수의 수와 같으므로 영공간의 차원과 같다. 따라서 정리가 성립한다.

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같이보기

추상대수학에서의 핵

영공간은 $\ker A$ 이라 쓰고 핵^Kernel 으로도 불린다. 이는 추상대수학에서 다루는 일반적인 핵의 개념을 선형대수에서 특수화한 표현인데, 이 역시 $A$ 를 함수로 본 것이다.