📂행렬대수

동차 연립 일차 방정식

정의¹

선형 시스템에서 다음과 같이 상수항이 전부 $0$이면 동차^homogeneous라고 한다.

$$\begin{align*} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= 0 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= 0 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= 0 \end{align*}$$

일반적인 선형 시스템과 달리 모든 동차 선형 시스템은 항상 해를 가진다. 왜냐하면 상수항이 $0$이면 너무도 당연하게 $x_{1}=0, x_{2}=0, \dots, x_{n}=0$을 해로 가지기 때문이다. 이를 자명해^{trivial solutionn}라고 한다. 자명해가 아닌 해를 비자명해^{nontrivial solution}라고 한다. 동차 선형 시스템은 항상 자명해를 가지므로 풀이에 대해서 오직 다음의 두 경우만 존재한다.

• 자명해만 있다.

• 자명해와 무수히 많은 비자명해가 있다.

동차 시스템에 대한 자유변수정리

미지수의 개수가 $n$인 어떤 동차 선형 시스템이 주어졌다고 하자. 첨가행렬의 기약 행사다리꼴 행렬의 $0$이 아닌 행의 개수가 $r$이라고 하자. 그러면 동차 시스템을 간단히 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} & x_{1} & & & &+ (\quad) &= 0 & \\ & & x_{2} & & &+ (\quad) &= 0 & \\ & & & \ddots & & & \vdots & \\ & & & & x_{r} &+ (\quad) &= 0 & \end{align*}$$

위 식은 $n-r$개의 자유변수를 갖는다. 따라서 $r < n$인 경우에는 자유변수가 1개 이상 존재하므로 무수히 많은 해를 갖는다. 그러므로 방정식의 수보다 미지수의 수가 더 많은 동차 선형 시스템은 무수히 많은 해를 갖는다.