📂동역학

동역학에서의 먹이사슬 시스템

모델 ¹

$$\begin{align*} \dot{R} =& R \left( 1 - {\frac{ R }{ K }} \right) - {\frac{ x_{c} y_{c} C R }{ R + R_{0} }} \\ \dot{C} =& x_{c} C \left( {\frac{ y_{c} R }{ R + R_{0} }} - 1 \right) - {\frac{ x_{p} y_{p} P C }{ C + C_{0} }} \\ \dot{P} =& x_{p} P \left( {\frac{ y_{p} C }{ C + C_{0} }} - 1 \right) \end{align*}$$

변수

• $R(t)$: $t$ 시점에서 자원^resource의 밀도다.
• $C(t)$: $t$ 시점에서 소비자^consumer의 밀도다.
• $P(t)$: $t$ 시점에서 포식자^predator의 밀도다.

파라미터

• $K = 0.94$: 자원의 환경 용량^{carrying capacity}이다.
• $x_{c} = 0.4$, $y_{c} = 1.7$, $R_{0} = 0.16129$: 소비자가 자원을 포식하는 것에 관계된 값들이다.
• $y_{p} = 5.0$, $x_{p} = 0.08$, $C_{0} = 0.5$: 포식자가 소비자를 포식하는 것에 관계된 값들이다.

설명

소개된 $3$차원 먹이사슬 시스템^{food-chain system}은 자원이 로지스틱 성장모델을 따르며 자원-소비자와 소비자-포식자라는 두 가지 롯카-볼테라 포식자-피식자 모델이 커플링된 다이내믹 시스템이라 볼 수 있다.

원래 이렇게 간단한 시스템을 조합한 유형의 시스템은 복잡할 수가 없지만, $R-C-P$ 사이에 홀링 타입 2의 반응 함수를 가미함으로써 캐어릭한 시스템이 된다. 실제로 $K, y_{c}, y_{p}$ 를 바꿔가며 그린 바이퍼케이션 다이어그램은 다음과 같다.

연구적인 측면에서 이런 시스템을 알아두는 것은 논문의 가치를 더하는 방법이 될 수도 있겠다. 똑같이 $3$차원이고 캐어릭한 시스템의 예로는 로렌츠 어트랙터가 있지만 너무 유명하고 많이 쓰인 나머지 어떤 벤치마크의 대상으로써 매력적이지 않으며, 현재에 이르러서는 $2$차 이내의 다항함수로 표현된다는 점에서 그 복잡성도 떨어지는 것으로 비칠 수 있다. 반면 먹이사슬 시스템은 그 자체로 이미 생태학^ecology의 직관적인 의미를 담고 있으며 캐어릭하면서 수식도 유리함수를 포함하고 있어 상대적으로 복잡하다².