📂선형대수

벡터공간의 차원

정의¹

벡터공간 $V$의 기저의 원소의 개수(벡터의 개수)를 $V$의 차원^dimension이라고 정의하고 다음과 같이 표기한다.

$$\dim (V)$$

설명

이러한 차원의 일반화는 단순히 벡터공간에 대한 탐구를 넘어서서 이 사회를 떠받치는 여러가지 기술에 접목되고 있다. 세상이 $3$차원이고 그림으로도 못 그리는 $4$차원이 무슨 소용인가 싶겠지만 딱히 유클리드공간만 벡터공간이 아니기 때문이다. 당장 통계학에서 쓰는 데이터셋만 해도 벡터로 볼 수 있는데, 예를 들어 ‘아담’이라는 사람의 키가 175, 몸무게가 62, 나이가 22, IQ가 103, 시력이 1.2 라고 하면 ‘아담=(175, 62, 22, 103, 1.2)’ 와 같이 나타낼 수 있는 것이다. 이런 단순한 데이터만 해도 벌써 $5$차원을 쓰고 있는데 자잘한 제한이 있으면 써먹을 게 못된다.

한편 벡터공간의 기저는 유일하지 않다는 것을 생각해보면, 위의 정의가 합당한 정의이기 위해서는 모든 기저의 원소의 개수가 같아야한다는 조건이 필요하다. 다음의 두 정리로부터 유한차원 벡터공간의 모든 기저는 같은 수의 벡터를 가져야함을 알 수 있다.

정리

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$를 벡터공간 $V$의 임의의 기저라고 하자.

(a) 기저보다 벡터의 수가 많은 $V$의 부분 집합은 선형종속이다.

(b) 기저보다 벡터의 수가 적은 $V$의 부분 집합은 $V$를 생성하지 못한다.

증명²

(a)

$W=\left\{ \mathbf{w}_{1},\ \mathbf{w}_{2},\ \cdots ,\ \mathbf{w}_{m} \right\} \subset V$라고 하자. 이때 $m > n$이다. $S$가 $V$의 기저이므로 $W$의 원소는 $S$의 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{w}_{1} &= a_{11}\mathbf{v}_{1}+a_{21}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n1}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{i1}\mathbf{v}_{i} \\ \mathbf{w}_{2} &= a_{12}\mathbf{v}_{1}+a_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n2}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{i2}\mathbf{v}_{i} \\ & \vdots \\ \mathbf{w}_{m} &= a_{1m}\mathbf{v}_{1}+a_{2m}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{nm}\mathbf{v}_{n}=\sum \limits _{i}^{n} a_{im}\mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{wlincom1} \end{equation}$$

$W$가 선형종속임을 보이기 위해

$$\begin{equation} k_{1}\mathbf{w}_{1} + k_2\mathbf{w}_{2} + \cdots + k_{m}\mathbf{w}_{m}= \mathbf{0} \label{wlincom2} \end{equation}$$

를 만족하는 $(k_{1},k_{2},\dots,k_{m}) \ne (0,0,\dots,0)$이 존재함을 보이면 된다. $(1)$을 $(2)$에 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &k_{1}(a_{11}\mathbf{v}_{1} + a_{21}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n1}\mathbf{v}_{n}) \\ + &k_2(a_{12}\mathbf{v}_{1} + a_{22}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{n2}\mathbf{v}_{n}) \\ + &\cdots \\ + &k_{m}(a_{1m}\mathbf{v}_{1} + a_{2m}\mathbf{v}_{2} + \cdots + a_{nm}\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0} \end{align*}$$

이를 $\mathbf{v}_{i}$들에 대해서 정리하면 다음과 같다.

$$\left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{1j} \right)\mathbf{v}_{1} + \left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{2j} \right)\mathbf{v}_{2} + \cdots + \left( \sum \limits _{j} ^{m} k_{j}a_{nj} \right)\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$$

이 때 $S$가 $V$의 기저이므로 선형독립이고, 위 식을 만족하는 해는 오직 계수들이 모두 $0$인 것이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} a_{11}k_{1} + a_{12}k_{2} + \cdots + a_{1m}k_{m} = 0 \\ a_{21}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{2m}k_{m} = 0 \\ \vdots \\ a_{n1}k_{1} + a_{n2}k_{2} + \cdots + a_{nm}k_{m} = 0 \end{align*}$$

연립 방정식을 살펴보면 식의 개수는 $n$개, 미지수 $k$의 개수는 $m$개이다. 식의 개수보다 미지수의 개수가 많으므로 위 연립 방정식은 무수히 많은 비자명해를 가진다. 따라서 방정식 $(2)$를 만족하는 모두 $0$인 것은 아닌 $k_{1},\dots,k_{m}$이 존재한다. 따라서 $W$는 선형 종속이다. 또한 이 증명은 기저보다 원소의 수가 많은 어떠한 집합에도 성립한다.

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(b)

귀류법으로 증명한다.

$W=\left\{ \mathbf{w}_{1},\ \mathbf{w}_{2},\ \cdots ,\ \mathbf{w}_{m} \right\} \subset V$라고 하자. 이때 $m < n$이다. 그리고 $W$가 $V$를 생성한다고 가정해보자. 그러면 $V$의 모든 벡터를 $W$의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{v}_{1} &= a_{11}\mathbf{w}_{1}+a_{21}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_{m} \\ \mathbf{v}_{2} &= a_{12}\mathbf{w}_{1}+a_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_{m} \\ & \vdots \\ \mathbf{v}_{n} &= a_{1n}\mathbf{w}_{1}+a_{2n}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_{m} \end{aligned} \label{vlincom1} \end{equation}$$

그러면 $\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$들이 선형종속이라는 모순이 생긴다. 다음의 동차식을 보자.

$$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_2\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}= \mathbf{0}$$

여기에 $(1)$을 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &k_{1}(a_{11}\mathbf{w}_{1} + a_{21}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m1}\mathbf{w}_{m}) \\ + &k_2(a_{12}\mathbf{w}_{1} + a_{22}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{m2}\mathbf{w}_{m}) \\ + &\cdots \\ + &k_{n}(a_{1n}\mathbf{w}_{1} + a_{2n}\mathbf{w}_{2} + \cdots + a_{mn}\mathbf{w}_{m}) = \mathbf{0} \end{align*}$$

이를 $\mathbf{w}_{i}$들에 대해서 정리하면 다음과 같다.

$$\left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{1j} \right)\mathbf{w}_{1} + \left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{2j} \right)\mathbf{w}_{2} + \cdots + \left( \sum \limits _{j} ^{n} k_{j}a_{mj} \right)\mathbf{w}_{m} = \mathbf{0}$$

그러면 미지수 $k$에 대해서 다음과 같은 동차 선형 시스템을 얻는다.

$$\begin{align*} a_{11}k_{1} + a_{12}k_{2} + \cdots + a_{1n}k_{n} = 0 \\ a_{21}k_{1} + a_{22}k_{2} + \cdots + a_{2n}k_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}k_{1} + a_{m2}k_{2} + \cdots + a_{mn}k_{n} = 0 \end{align*}$$

미지수의 수가 $n$이고, 식의 수가 $m$인데 $m < n$이므로 위의 선형 시스템은 무수히 많은 비자명해를 가진다. 따라서 $S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}$가 선형종속이라는 결과를 얻는데 이는 $S$가 선형독립이라는 사실과 모순되므로 가정이 틀렸음을 알 수 있다. 따라서 $W$는 $V$를 생성하지 못한다.

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