행렬식의 성질
성질
$A,B$를 $n\times n$행렬, $k$를 상수라고 하자. 행렬식은 다음과 같은 성질을 만족한다.
(0) 행렬식은 선형이 아니다. $$ \det(A + B) \ne \det(A) + \det(B) $$
(a) $\det(kA) = k^{n}\det(A)$
(b) $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
(c) $\det(AB)=\det(BA)$
(d) $A$가 가역행렬이면, $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$
(e) $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$. 이때 $A^{\mathsf{T}}$는 $A$의 전치이다.
(f) 함수 $\det$는 연속이고, 미분가능하다. 특히나 다음이 성립한다.
$$ \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}} $$
$$ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \det A(t) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A(t)) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \Big) = \det A(t) \cdot \Tr\left( A^{-1}(t) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \right) $$
증명
순열에 의한 정의를 이용하면 증명이 쉽다. $n \times n$ 행렬 $A=[a_{ij}]$에 대해서,
$$ \det (A) = \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \tag{1} $$
(0)
행렬식의 라플라스 전개를 생각해보면, $2 \times 2$에 대해서만 반례를 보이는 것으로 충분하다. $A$와 $B$를 다음과 같이 두자.
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $$
그러면 각각의 행렬식은 다음과 같다.
$$ \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$
$$ \det(B) = 5 \cdot 8 - 6 \cdot 7 = 40 - 42 = -2 $$
이제 $A+B$의 행렬식을 계산해보면 아래와 같다.
$$ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} $$
$$ \det(A + B) = 6 \cdot 12 - 8 \cdot 10 = 72 - 80 = -8 $$
이 둘을 비교하면 같지 않다.
$$ \det(A + B) = -8, \quad \det(A) + \det(B) = -4 $$
$$ \implies \det(A + B) \ne \det(A) + \det(B) $$
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(a)
정의 $(1)$에 의하여,
$$ \begin{align*} \det (kA) &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) (k a_{1\sigma(1)}) (k a_{2\sigma(2)}) \cdots (k a_{n\sigma(n)}) \\ &= k^{n} \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\ &= k^{n} \det (A) \end{align*} $$
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(b)
정의 $(1)$에 의하여,
$$ \begin{align*} \det (AB) &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) (AB)_{1\sigma(1)} (AB)_{2\sigma(2)} \cdots (AB)_{n\sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) \sum_{\tau \in S_{n}} a_{1\tau(1)} b_{\tau(1)\sigma(1)} a_{2\tau(2)} b_{\tau(2)\sigma(2)} \cdots a_{n\tau(n)} b_{\tau(n)\sigma(n)} \\ \end{align*} $$
(f)
행렬식의 정의 $(1)$을 보면, $\det A$는 $A$의 각 성분에 대한 다항식이라는 것을 알 수 있다. 다항함수는 연속이고, 무한번 미분가능 하다.
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