직교행렬일 동치 조건
정리
$n \times n$ 실수 행렬 $A$에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.
(a) $A$가 직교행렬이다.
(b) $A$의 행 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.
(c) $A$의 열 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.
(d) $A$가 내적을 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$
(e) $A$가 길이를 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$
증명
(a)$\iff$(b) 와 (a)$\iff$(c) 는 증명 방법이 같으므로 후자는 생략한다.
(a) $\iff$ (b)
$A$를 $n\times n$ 행렬이라고 하고, $A$의 행벡터들을 $\mathbf{r}_{i}$로 나타내자.
$$ A = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$
그러면 $A A^{T}$는 다음과 같다.
$$ AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1}^{T} & \mathbf{r}_{2}^{T} & \cdots & \mathbf{r}_{n}^{T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} $$
(a) $\implies$ (b)
$A$가 직교행렬이라고 가정하자. 그러면 $AA^{T}=I$이므로 다음의 식을 얻는다.
$$ \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
따라서 $A$의 행벡터들의 집합 $\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}$는 정규직교집합이다.
(a) $\Longleftarrow$ (b)
$\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}$가 정규직교집합이라고 하자. 그러면
$$ \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
이므로
$$ AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =I $$
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(a) $\iff$ (d) $\iff$ (e)
(a) $\implies$ (d)
$A$가 직교행렬이고 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$이라고 하자. 그러면 전치행렬의 성질과 가정에 의해 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} \left( A \mathbf{x} \right) \cdot \left( A \mathbf{y} \right) &= \left( A \mathbf{x} \right)^{T} \left( A \mathbf{y} \right) \\ &= \mathbf{x}^{T} A^{T} A \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x}^{T} \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \end{align*} $$
(d) $\implies$ (e)
$A$가 내적을 보존한다고 가정하자. 그러면 가정에 의해 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \sqrt{(A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x})} \\ &= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} \\ &= \left\| \mathbf{x} \right\| \end{align*} $$
(e) $\implies$ (a)
$\left\| A \mathbf{x} \right\| =\left\| \mathbf{x}\right\|$가 성립한다고 가정하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} && \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \left\| \mathbf{x}\right\| \\ \implies && \left\| A \mathbf{x} \right\|^{2} &= \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} \\ \implies && A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*} $$
내적의 성질 $A \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v}$에 의해 위 식은 다음과 같다.
$$ A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} $$
위 식을 정리하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{x} \cdot \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0 $$
위 식은 모든 $\mathbf{x}$에 대해서 성립해야 하므로 $\left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0$이다. 따라서
$$ \begin{align*} && \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x} \right) &= 0 \\ \implies && \left( A^{T}A -I\right) \mathbf{x} &= 0 \end{align*} $$
위 식도 모든 $\mathbf{x}$에 대해서 만족해야 하므로 다음의 식을 얻는다.
$$ A^{T}A-I = 0 \implies A^{T}A=I $$
따라서 $A$는 직교행렬이다.
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