📂행렬대수

직교행렬의 성질

성질¹

직교행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.

(a) 직교행렬의 전치도 직교행렬이다.

(b) 직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다.

(c) 두 직교행렬의 곱은 직교행렬이다.

(d) 직교행렬의 행렬식은 $1$이거나 $-1$이다.

$$ \det(A)=\pm 1 $$

증명

(a)

$A$를 직교행렬이라고 하자. $B$를 $A$의 전치라고 하자.

$$ B=A^{T} $$

그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ B^{-1} = (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{-1} = A = B^{T} $$

■

(b)

$A$를 직교행렬이라고 하자. $B$를 $A$의 역행렬이라고 하자.

$$ B = A^{-1} $$

그러면 $A$가 직교행렬이고, $(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}$이므로 다음의 식이 성립한다.

$$ B^{-1} = (A^{-1})^{-1} = (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T} = B^{T} $$

■

(c)

$A$, $B$를 크기가 $n \times n$인 직교행렬이라고 하자. 그러면 $(AB) (AB)^{T}$임을 보이면 증명이 끝난다. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$이므로 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} (AB)(AB)^{T} &= (AB) (B^{T}A^{T}) \\ &= (AB)(B^{-1}A^{-1}) \\ &= AA^{-1} \\ &= I \end{align*} $$

■

(d)

$A$를 직교행렬이라고 하자. 그러면 곱의 행렬식과 행렬식의 곱이 같으므로 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} \det(I) &= \det(AA^{T}) \\ &= \det(A) \det(A^{T}) \end{align*} $$

또한 전치의 행렬식과 행렬식의 전치가 같으므로 다음의 식을 얻는다.

$$ 1 = \det(I) = \left( \det(A) \right)^2 $$

따라서

$$ \det(A) = \pm 1 $$