직교행렬

정의

$A$를 정사각 실수 행렬이라고 하자. $A$가 아래의 식을 만족하면 직교행렬^{orthogonal matrix}이라 한다.

$$ A^{-1} = A^{T} $$

위 조건을 다르게 표현하면 다음과 같다.

$$ AA^{T} = A^{T}A =I $$

설명

정의를 말로 풀어서 쓰면, 직교행렬이란 각각의 행벡터 혹은 열벡터들이 서로 직교하는 단위 벡터인 행렬이다. 복소수 행렬으로 확장한 경우에는 유니타리 행렬이라 부른다. 직교행렬의 구체적인 예로 회전 행렬이 있다. 2차원 평면상의 벡터를 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전시키는 변환은 다음과 같다.

$$ A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$

아래의 식에 의해 회전 변환은 임의의 $\theta$에 대해서 직교행렬임을 알 수 있다.

$$ A^{T} A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $$

성질

직교행렬의 전치도 직교행렬이다.
직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다.
두 직교행렬의 곱은 직교행렬이다.
직교행렬의 행렬식은 $1$이거나 $-1$이다.

$$ \det(A)=\pm 1 $$

직교행렬일 동치 조건

$n \times n$ 실수 행렬 $A$에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.

$A$가 직교행렬이다.
$A$의 행 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.
$A$의 열 벡터들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 정규직교집합이다.
$A$가 내적을 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$

$A$가 길이를 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$