에르미트 행렬

정의

$A$ 를 정사각 복소수 행렬이라고 하자. $A$ 가 아래의 식을 만족하면 에르미트 행렬^Hermitian 혹은 자가 수반 행렬^{self-adjoint matrix}이라 한다.

$A^{\ast}=A$

이때 $A^{\ast}$ 는 $A$ 의 켤레 전치이다. $A$ 가 아래의 식을 만족하면 반 에르미트 행렬^{skew-Hermitian,} ^{anti-Hermitian}이라고 한다.

$A^{\ast}=-A$

설명

실수 행렬이라면 $A^{\ast}=A^{T}$ 이므로 대칭행렬이면 에르미트 행렬이다. 또한 아래의 성질에서 알 수 있듯이 에르미트 행렬의 대각 성분은 반드시 실수이다. 따라서 크기가 작은 행렬이라면 눈으로 봤을 때 에르미트 행렬인지 아닌지 반펼하기 쉽다.

에르미트 행렬의 대각 성분이 반드시 실수인 것과 같은 이유로 반 에르미트 행렬의 대각 성분은 모두 $0$ 이다.

성질

$A$ 를 에르미트 행렬이라고 하자.

(a) $A$ 의 대각 성분은 반드시 실수이다.

(b) $A$ 의 고유값은 모두 실수이다.

(c) $A$ 의 서로 다른 고유값을 가지는 고유 벡터는 서로 수직이다.

(b) 를 양자역학의 관점에서 말하면 ‘에르미트 연산자의 기댓값은 항상 실수이다’가 된다.

증명

(a)

행렬 $A$ 의 전치 $A^{T}$ 는 주 대각선을 기준으로 $A$ 의 성분을 대칭이동 시킨 것이다. 따라서 두 행렬의 대각 성분은 항상 같다. 이는 곧 $a_{ij}=\overline{a_{ij}}$ 를 의미하므로 대각 성분은 실수이다.

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(b)

(c)