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역행렬, 가역행렬 📂행렬대수

역행렬, 가역행렬

정의

AA를 크기가 n×nn\times n인 임의의 정사각행렬이라고 하자. AA와 행렬 곱이 가능한 행렬 LL이 다음의 식을 만족하면 LL을 AA의 좌 역행렬left inverse matrix라고 한다.

LA=In LA=I_{n}

이때 InI_{n}은 크기가 n×nn\times n인 항등행렬이다. AA와 행렬 곱이 가능한 행렬 RR이 다음의 식을 만족하면 RR을 AA의 우 역행렬right inverse matrix라고 한다.

AR=In AR=I_{n}

AA가 좌/우 역행렬을 모두 가지면 이 둘은 서로 같고 A−1A^{-1}라 표기하며 AA의 역행렬inverse matrix이라고 한다.

A−1A=In=AA−1 A^{-1}A=I_{n}=AA^{-1}

AA가 역행렬을 가지면 AA를 가역행렬invertible matrix 혹은 정칙 행렬nonsingular matrix이라고 한다. AA가 역행렬을 가지지 않으면 AA를 특이 행렬singular matrix이라 한다.

설명

정의에 의해 LALA의 크기가 n×nn\times n이어야 하므로 LL은 반드시 n×nn \times n 행렬이어야 하며 RR도 마찬가지이다. AA를 정사각행렬로 제한을 둔 이유는 A−1A^{-1}가 AA의 양쪽에서 곱해질 수 있어야 하기 때문이다. 비슷한 이유로 행렬 곱은 교환가능하지 않기 때문에 좌/우 역행렬이 모두 존재해야 가역행렬이라고 부른다. 실제로 임의의 행렬이 좌/우 역행렬을 가질 경우 이 둘은 항상 같다.

성질

AA와 BB를 임의의 n×nn \times n 정사각행렬이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) AA가 좌 역행렬 LL, 우 역행렬 RR을 가지면 이 둘은 같다.

L=A−1=R L=A^{-1}=R

(b) AA의 역행렬이 존재하면 유일하다.

(c) AB=I  ⟺  BA=IAB = I \iff BA = I

(d) AA, BB를 가역행렬이라고 하자. 그러면 두 행렬의 곱 ABAB도 가역행렬이며 그 역행렬은 다음과 같다.

(AB)−1=B−1A−1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

(d’) 같은 크기의 가역행렬들의 곱도 가역이며, 그 역행렬은 각각의 역행렬을 역순으로 곱한 것과 같다. 즉, A1,A2,…,AnA_{1},A_{2},\dots,A_{n}이 가역행렬이면 다음이 성립한다.

(A1A2⋯An)−1=An−1⋯A2−1A1−1 \left( A_{1}A_{2}\cdots A_{n} \right)^{-1} = A_{n}^{-1}\cdots A_{2}^{-1} A_{1}^{-1}

(e) ABAB가 가역이면 AA와 BB도 가역이다.

(f) AA가 가역이면 전치도 가역이고 그 역행렬은 다음과 같다.

(AT)−1=(A−1)T \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T}

따라서 (c)   ⟺  \iff (d) 임을 알 수 있다.

증명

(a)

임의의 n×nn\times n 행렬 AA가 주어졌다고 하자. LL이 AA의 좌 역행렬이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

LA=In LA=I_{n}

RR을 AA의 우 역행렬이라고 하자. RR을 위 식의 양변의 오른쪽에 곱하면 다음과 같다.

LAR=InR=R LAR = I_{n}R =R

그런데 RR은 AA의 우역행렬이므로 LAR=LIn=LLAR=LI_{n}=L이다. 따라서 위 식은 다음과 같다.

L=R L=R

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(b)

임의의 정사각행렬 AA가 서로 다른 두 역행렬 BB, CC를 가진다고 가정하자. 그러면 아래와 같이 계산할 수 있다.

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

그런데 위 결과는 BB와 CC가 서로 다르다는 가정에 모순된다. 따라서 가정이 틀렸으므로 역행렬이 존재하면 유일하다.한다. 즉

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(c)

일반성을 잃지않고 BA=I  ⟹  AB=IBA = I \implies AB = I만을 보일 것이다. BA=IBA = I라고 가정하자. 이제 식 Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}을 생각해보자.

Ax=0  ⟹  B(Ax)=B0  ⟹  (BA)x=0 \begin{align*} A\mathbf{x} = \mathbf{0} &\implies B(A\mathbf{x}) = B \mathbf{0} \\ &\implies (BA)\mathbf{x} = \mathbf{0} \end{align*}

여기서 BA=IBA = I라 가정했으므로, x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}이다. 따라서 Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}는 자명해만을 갖는다.

가역행렬일 동치조건

AA를 크기가 n×nn\times n인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.

가역행렬일 동치조건에 의해 AA는 가역이다. 그러므로 A−1A^{-1}가 존재하고,

BA=I  ⟹  A(BA)A−1=AIA−1  ⟹  AB=I BA = I \implies A(BA)A^{-1} = AIA^{-1} \implies AB = I

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(d)

AA, BB를 크기가 n×nn\times n인 가역행렬이라고 하자. 그러면 A−1A^{-1}, B−1B^{-1}가 존재한다. 우선 B−1A−1B^{-1}A^{-1}를 ABAB의 오른쪽에 곱해보면 다음과 같다.

(AB)(B−1A−1)=ABB−1A−1=AInA−1=AA−1=In \begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= ABB^{-1}A^{-1} \\ &= AI_{n}A^{-1} = AA^{-1} \\ &= I_{n}\end{align*}

왼쪽에 곱하면 다음과 같다.

(B−1A−1)(AB)=B−1A−1AB=B−1InB=B−1B=In \begin{align*} (B^{-1}A^{-1})(AB) &= B^{-1}A^{-1}AB \\ &= B^{-1}I_{n}B = B^{-1}B \\ &= I_{n}\end{align*}

따라서 ABAB는 가역행렬이고 역행렬은 B−1A−1B^{-1}A^{-1}이다.

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(d')

(d) 의 따름정리로서 성립한다.

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(e)

ABAB의 역행렬을 CC라고 하자. 그러면 ABC=InABC=I_{n}이다. 따라서, (c)에 의해, AA는 가역이고 A−1=BCA^{-1}=BC이다. 또한 CAB=InCAB=I_{n}이므로 BB도 가역이고 B−1=CAB^{-1}=CA이다.

(f)

두 행렬을 곱해서 항등행렬이 나오는지 확인하면 된다. 전치행렬의 성질에 따라 다음과 같다.

AT(A−1)T=(A−1A)T=IT=I A^{T} \left( A^{-1} \right)^{T} = \left( A^{-1} A \right) ^{T} = I^{T} = I

(A−1)TAT=(AA−1)T=IT=I \left( A^{-1} \right)^{T} A^{T} = \left( A A^{-1} \right)^{T} = I^{T} = I

따라서

(AT)−1=(A−1)T \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T}

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