역행렬, 가역행렬
정의
$A$를 크기가 $n\times n$인 임의의 정사각행렬이라고 하자. $A$와 행렬 곱이 가능한 행렬 $L$이 다음의 식을 만족하면 $L$을 $A$의 좌 역행렬left inverse matrix라고 한다.
$$ LA=I_{n} $$
이때 $I_{n}$은 크기가 $n\times n$인 항등행렬이다. $A$와 행렬 곱이 가능한 행렬 $R$이 다음의 식을 만족하면 $R$을 $A$의 우 역행렬right inverse matrix라고 한다.
$$ AR=I_{n} $$
$A$가 좌/우 역행렬을 모두 가지면 이 둘은 서로 같고 $A^{-1}$라 표기하며 $A$의 역행렬inverse matrix이라고 한다.
$$ A^{-1}A=I_{n}=AA^{-1} $$
$A$가 역행렬을 가지면 $A$를 가역행렬invertible matrix 혹은 정칙 행렬nonsingular matrix이라고 한다. $A$가 역행렬을 가지지 않으면 $A$를 특이 행렬singular matrix이라 한다.
설명
정의에 의해 $LA$의 크기가 $n\times n$이어야 하므로 $L$은 반드시 $n \times n$ 행렬이어야 하며 $R$도 마찬가지이다. $A$를 정사각행렬로 제한을 둔 이유는 $A^{-1}$가 $A$의 양쪽에서 곱해질 수 있어야 하기 때문이다. 비슷한 이유로 행렬 곱은 교환가능하지 않기 때문에 좌/우 역행렬이 모두 존재해야 가역행렬이라고 부른다. 실제로 임의의 행렬이 좌/우 역행렬을 가질 경우 이 둘은 항상 같다.
성질
$A$와 $B$를 임의의 $n \times n$ 정사각행렬이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
(a) $A$가 좌 역행렬 $L$, 우 역행렬 $R$을 가지면 이 둘은 같다.
$$ L=A^{-1}=R $$
(b) $A$의 역행렬이 존재하면 유일하다.
(c) $AB = I \iff BA = I$
(d) $A$, $B$를 가역행렬이라고 하자. 그러면 두 행렬의 곱 $AB$도 가역행렬이며 그 역행렬은 다음과 같다.
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$
(d’) 같은 크기의 가역행렬들의 곱도 가역이며, 그 역행렬은 각각의 역행렬을 역순으로 곱한 것과 같다. 즉, $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$이 가역행렬이면 다음이 성립한다.
$$ \left( A_{1}A_{2}\cdots A_{n} \right)^{-1} = A_{n}^{-1}\cdots A_{2}^{-1} A_{1}^{-1} $$
(e) $AB$가 가역이면 $A$와 $B$도 가역이다.
(f) $A$가 가역이면 전치도 가역이고 그 역행렬은 다음과 같다.
$$ \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T} $$
따라서 (c) $\iff$ (d) 임을 알 수 있다.
증명
(a)
임의의 $n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $L$이 $A$의 좌 역행렬이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.
$$ LA=I_{n} $$
$R$을 $A$의 우 역행렬이라고 하자. $R$을 위 식의 양변의 오른쪽에 곱하면 다음과 같다.
$$ LAR = I_{n}R =R $$
그런데 $R$은 $A$의 우역행렬이므로 $LAR=LI_{n}=L$이다. 따라서 위 식은 다음과 같다.
$$ L=R $$
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(b)
임의의 정사각행렬 $A$가 서로 다른 두 역행렬 $B$, $C$를 가진다고 가정하자. 그러면 아래와 같이 계산할 수 있다.
$$ B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C $$
그런데 위 결과는 $B$와 $C$가 서로 다르다는 가정에 모순된다. 따라서 가정이 틀렸으므로 역행렬이 존재하면 유일하다.한다. 즉
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(c)
일반성을 잃지않고 $BA = I \implies AB = I$만을 보일 것이다. $BA = I$라고 가정하자. 이제 식 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$을 생각해보자.
$$ \begin{align*} A\mathbf{x} = \mathbf{0} &\implies B(A\mathbf{x}) = B \mathbf{0} \\ &\implies (BA)\mathbf{x} = \mathbf{0} \end{align*} $$
여기서 $BA = I$라 가정했으므로, $\mathbf{x} = \mathbf{0}$이다. 따라서 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$는 자명해만을 갖는다.
$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.
가역행렬일 동치조건에 의해 $A$는 가역이다. 그러므로 $A^{-1}$가 존재하고,
$$ BA = I \implies A(BA)A^{-1} = AIA^{-1} \implies AB = I $$
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(d)
$A$, $B$를 크기가 $n\times n$인 가역행렬이라고 하자. 그러면 $A^{-1}$, $B^{-1}$가 존재한다. 우선 $B^{-1}A^{-1}$를 $AB$의 오른쪽에 곱해보면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= ABB^{-1}A^{-1} \\ &= AI_{n}A^{-1} = AA^{-1} \\ &= I_{n}\end{align*} $$
왼쪽에 곱하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} (B^{-1}A^{-1})(AB) &= B^{-1}A^{-1}AB \\ &= B^{-1}I_{n}B = B^{-1}B \\ &= I_{n}\end{align*} $$
따라서 $AB$는 가역행렬이고 역행렬은 $B^{-1}A^{-1}$이다.
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(d')
(d) 의 따름정리로서 성립한다.
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(e)
$AB$의 역행렬을 $C$라고 하자. 그러면 $ABC=I_{n}$이다. 따라서, (c)에 의해, $A$는 가역이고 $A^{-1}=BC$이다. 또한 $CAB=I_{n}$이므로 $B$도 가역이고 $B^{-1}=CA$이다.
(f)
두 행렬을 곱해서 항등행렬이 나오는지 확인하면 된다. 전치행렬의 성질에 따라 다음과 같다.
$$ A^{T} \left( A^{-1} \right)^{T} = \left( A^{-1} A \right) ^{T} = I^{T} = I $$
$$ \left( A^{-1} \right)^{T} A^{T} = \left( A A^{-1} \right)^{T} = I^{T} = I $$
따라서
$$ \left( A^{T} \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^{T} $$
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