📂행렬대수

전치행렬

정의¹

$A$를 크기가 $m\times n$인 행렬이라고 하자. $A$의 행과 열을 서로 바꾼 행렬을 $A$의 전치행렬^{transpose, 전치}이라고 하고 $A^{T}$ 혹은 $A^{t}$라고 표기한다.

설명

정의에 따라 $A$가 $m \times n$ 행렬이면 $A^{T}$는 $n \times m$ 행렬이 된다. 또한 $A$의 $i$번째 행은 $A^{T}$의 $i$번째 열과 같고 그 반대도 마찬가지이다.

$$A=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 22 \end{bmatrix} ,\quad A^{T} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \\ 3 & 22 \end{bmatrix}$$

주 대각선을 기준으로 좌우 대칭시켰다고 생각할 수도 있다.

성질

$r,s\in \mathbb{R}$이고 $A,B$는 각각의 경우에서 행렬 연산이 잘 정의되도록하는 크기를 갖는다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) 선형성: $$\left( rA + sB\right)^{T}=r A^{T} + s B^{T}$$

(b) 곱의 전치를 전치를 역순으로 곱한 것과 같다.

$$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$

(b’) 여러 행렬들의 곱의 전치는 각각의 전치를 역순으로 곱한것과 같다.

$$\left( A_{1} A_{2}\cdots A_{n} \right)^{T} = A_{n}^{T} \cdots A_{2}^{T} A_{1}^{T}$$

증명

(b)

$m\times n$ 행렬 $A$와 $n\times k$ 행렬 $C$에 대해

$$\begin{align*} \left[ { \left( AC \right) }^{ T } \right] _{ km } &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ [A] _{ m i } { [C] } _{ i k } } \\ &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left[ { A }^{ T } \right] } _{ i m } { \left[ { C }^{ T } \right] } _{ k i } } \\ &= \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left[ { C }^{ T } \right] } _{ k i }{ \left[ { A }^{ T } \right] } _{ i m } } \\ &= { \left[ { C }^{ T } { A }^{ T } \right] } _{ km } \end{align*}$$

따라서 각 성분이 서로 같으면 같은 행렬이므로 다음의 식이 성립한다.

$$\left( AC \right) ^{ T } = { C }^{ T } { A }^{ T }$$

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(b')

(b) 의 따름정리로서 성립한다.

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