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각운동량 연산자의 교환 관계 📂양자역학

각운동량 연산자의 교환 관계

공식

각운동량 연산자들의 교환관계는 다음과 같다.

[Lj,Lk]=iℏϵjkℓLℓ(1) \left[L_{j}, L_{k} \right] = \i \hbar \epsilon_{jk\ell}L_{\ell} \tag{1}

이때 ϵjkℓ\epsilon_{jk\ell}은 레비-치비타 심볼이다. 풀어서 적으면,

[Lx,Ly]=iℏLz[Ly,Lz]=iℏLx[Lz,Lx]=iℏLy \left[ L_{x}, L_{y} \right] = \i \hbar L_{z} \\ \left[ L_{y}, L_{z} \right] = \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] = \i \hbar L_{y}

또한 L2=Lx2+Ly2+Lz2L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}는 각 성분과 교환가능하다.

[L2,Lx]=[L2,Ly]=[L2,Lz]=0(2) [L^{2}, L_{x}] = [L^{2}, L_{y}] = [L^{2}, L_{z}] = 0 \tag{2}

설명

xx와 pxp_{x}는 각각 위치 연산자와 운동량 연산자이다.

증명

(1)(1)

아래첨자가 순환하므로 [Lx, Ly]\left[ L_{x},\ L_{y} \right]에 대해서만 계산해보면 된다.

교환자의 성질

[A+B,C]=[A,C]+[B,C] \left[ A + B, C \right] = \left[ A, C \right] + \left[ B, C \right]

교환자의 성질에 의해 다음을 얻는다.

[Lx,Ly]=[ypz−zpy,zpx−xpz]=[ypz,zpx−xpz]−[zpy,zpx−xpz]=[ypz,zpx]−[ypz,xpz]−[zpy,zpx]+[zpy,xpz] \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \tag{1} \end{align*}

이 때 서로 다른 좌표에 대해서 위치 연산자와 운동량 연산자는 교환가능하다.

[x,py]=[x,pz]=[y,px]=[y,pz]=[z,px]=[z,py]=0 [x, p_{y}] = [x, p_{z}] = [y, p_{x}] = [y, p_{z}] = [z, p_{x}] = [z, p_{y}] = 0

또한 같은 연산자끼리의 교환자도 00이다. 따라서 (1)(1)을 전개했을 때 [x,px], [y,py], [z,pz][x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}] 이 셋만 00이 아닌 값을 갖는다. 그러므로 00이 아닌 항만 생각해주면 된다. 첫 번째 항을 전개하면 y[pz,z]pxy[p_{z},z]p_{x}를 제외한 항은 모두 00이다. 두 번째 항을 전개하면 모든 항이 00이다. 세 번째 항을 전개하면 모든 항이 00이다. 네 번째 항을 전개하면 x[z,pz]pyx[z,p_{z}]p_{y}를 제외한 항은 모두 00이다. (이해가 안된다면 직접 전개해서 풀어보라) 따라서 다음을 얻는다.

[Lx,Ly]=y[pz,z]p+x[z,pz]py [L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_{+}x[z,p_{z}]p_{y}

여기서 위치-운동량 교환자 [x,px]=iℏ[x, p_{x}] = \i\hbar를 이용하면 아래와 같이 계산된다.

[Lx,Ly]=y[pz,z]px−x[z,pz]py=−iℏ(ypx)+iℏ(xpy)=iℏ(xpy−ypx)=iℏLz \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= y[p_{z},z]p_{x} - x[z,p_{z}]p_{y} \\ &= -\i\hbar (yp_{x}) + \i\hbar (xp_{y}) \\ &= \i \hbar (xp_{y} - yp_{x}) \\ &= \i \hbar L_{z} \end{align*}

같은 논리로 다음을 얻는다.

[Ly,Lz]=iℏLx,[Lz,Lx]=iℏLy [L_{y},L_{z}] = \i \hbar L_{x}, \qquad [L_{z}, L_{x}] = \i \hbar L_{y}

■

(2)(2)

교환자의 성질과 (1)(1)을 이용하면, [Lz,Lz]=0[L_{z}, L_{z}] = 0이므로, 다음을 얻는다.

[L2,Lz]=[Lx2+Ly2+Lz2,Lz]=[Lx2,Lz]+[Ly2,Lz]+[Lz2,Lz]=Lx[Lx,Lz]+[Lx,Lz]Lx+Ly[Ly,Lz]+[Ly,Lz]Ly=(−iℏLxLy)+(−iℏLyLx)+iℏLyLz+iℏLxLy=0 \begin{align*} [L^2, L_{z}] &= [{L_{x}}^2 + {L_{y}}^2 + {L_{z}}^2, L_{z}] \\ &= [{L_{x}}^2,L_{z}] + [{L_{y}}^2, L_{z}] +[{L_{z}^2}, L_{z}] \\ &= L_{x}[L_{x}, L_{z}] + [L_{x}, L_{z}]L_{x} + L_{y}[L_{y}, L_{z}] + [L_{y}, L_{z}]L_{y} \\ &= (-\i\hbar L_{x}L_{y}) + (-\i\hbar L_{y}L_{x}) + \i\hbar L_{y}L_{z} + \i\hbar L_{x}L_{y} \\ &= 0 \end{align*}

마찬가지로 아래의 식이 성립한다.

[L2,Lx]=[L2,Ly]=0 [L^2, L_{x}] = [L^2, L_{y}] = 0

■