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교환자의 성질 📂양자역학

교환자의 성질

정의

두 연산자 A,BA, B에 대해서, AB−BAAB - BA를 A,BA, B의 교환자라고 정의라고 다음과 같이 표기한다.

[A,B]=AB−BA [A,B]=AB-BA

성질

[A,A]=0[A,B]=−[B,A][A+B,C]=[A,C]+[B,C][AB,C]=A[B,C]+[A,C]B[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C \begin{align} [A, A] &= 0 \\[1em] [A, B] &= -[B, A] \\[1em] [A+B, C] &= [A, C] + [B, C] \\[1em] [AB, C] &= A[B, C]+[A, C]B \\[1em] [A,BC] &= B[A,C]+ [A,B]C \end{align}

설명

양자역학을 기술하는 주된 방법이 행렬이다. 그런데 행렬은 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하지 않는다. 그래서 A, BA,\ B라는 연산자(행렬)가 있을 때 아래처럼 전개하면 일반적으로 맞지 않다.

(A+B)2=A2+2AB+B2 (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}

올바르게 전개하면 다음과 같다.

(A+B)2=A2+AB+BA+B2 (A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2}

'연산자=행렬'이라고 기억하는 것이 실수를 줄이는 길이다. 위의 성질들은 교환자를 계산할 때 유용하게 사용된다.

증명

(1)

[A,A]=AA−AA=0 [A, A]=AA-AA=0

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(2)

[A,B]=AB−BA=−(BA−AB)=−[B,A] [A,B] = AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]

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(3)

[A+B,C]=(A+B)C−C(A+B)=AC+BC−CA−CB=(AC−CA)+(BC−CB)=[A,C]+[B,C] \begin{align*} [A+B,C] &= (A+B)C-C(A+B) \\ &= AC+BC-CA-CB \\ &= (AC-CA) + (BC-CB) \\ &= [A,C]+[B,C] \end{align*}

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(4)

[AB,C]=(AB)C−C(AB)=ABC−CAB=(ABC−CAB)+(ACB−ACB)=(ABC−ACB)+(ACB−CAB)=A(BC−CB)+(AC−CA)B=A[B,C]+[A,C]B \begin{align*} [AB,C] &= (AB)C-C(AB) \\ &= ABC-CAB \\ &= (ABC {\color{blue}-CAB})+(ACB {\color{red}-ACB}) \\ &= (ABC {\color{red}-ACB}) + (ACB {\color{blue}-CAB}) \\ &= A(BC-CB) +(AC-CA)B \\ &= A[B,C] + [A,C]B \end{align*}

(5)

[A,BC]=A(BC)−(BC)A=ABC−BCA=(ABC−BCA)+(BAC−BAC)=(BAC−BCA)+(ABC−BAC)=B[A,C]+[A,B]C \begin{align*} [A,BC] &= A(BC)-(BC)A \\ &= ABC-BCA \\ &= ({\color{blue}ABC} -BCA)+({\color{red}BAC} -BAC) \\ &= ( {\color{red}BAC}-BCA )+({\color{blue}ABC}-BAC) \\ &= B[A,C] + [A,B]C \end{align*}

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