📂상미분방정식

지연미분방정식

쉬운 정의

미분방정식의 한 형태로써, 시간 지연^time-delay $\tau > 0$ 에 대해 다음과 같은 형태를 갖는 방정식을 지연미분방정식^{delay differential equation}이라고 한다. $$ \dot{x} (t) = f \left( t , x (t) , x (t - \tau) \right) $$

설명

이해를 돕기 위해 아주 간단한 꼴로 적었지만 사실 지연미분방정식은 꼭 $\tau$ 가 하나일 필요도 없고(심지어 무한히 많아도 된다), 상미분방정식이 아니라 편미분방정식이어도 된다.

보통 상미분방정식으로 표현되는 동역학계라면 상태 $x(t)$ 에는 $\dot{x}(t)$ 가 대응되어 벡터필드로 표현이 되지만, 지연미분방정식에서는 상태 $x(t)$ 만 보고 $\dot{x}$ 가 결정이 되지 않는다. 쉽게 말해, 같은 지점이라도 과거에 어떤 경로를 거쳐왔는지에 따라 $\dot{x}$ 가 달라지는 것이다.

아주 간단한 예시로는 맬서스 성장 모델 $\dot{N} = r N$ 에서 개체가 성숙(번식할 수 있을 정도로 성장)하는 시간 $\tau$ 까지 고려한 지연미분방정식 $\dot{N}(t) = r N(t - \tau)$ 를 생각해볼 수 있다¹.