📂유체역학

마츠노-질 모델

모델 ^{1 2 3}

적도^equator 부근에서의 해양을 가정한다. 지표면에서 평균 높이 $H$ 이고 비압축성인 유체의 층을 상정하자. 그 높이에서의 변위를 $\eta$ 라 하고 동서류와 남북류를 각각 $u$ 와 $v$ 라 할 때, 유속의 지배 방정식은 다음과 같이 근사시킬 수 있다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial h }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) =& 0 \\ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - \beta y v =& -g {\frac{ \partial h }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + \beta y u =& -g {\frac{ \partial h }{ \partial y }} \end{align*} $$ 여기서 $g$ 는 중력가속도고, $\beta$ 는 로스비 파라미터^{Rossby parameter}라 불리는 상수다.

설명 ¹

얕은 물 방정식에서 코리올리 주기 $f$ 는 위도 $\theta$ 에 대해 $f = 2 \Omega \sin \theta$ 와 같이 나타낼 수 있다. $y$ 는 천체의 반지름 $R$ 과 충분히 작은 위도 $\theta$ 에 대해 $$ y = R \sin \theta \approx R \theta $$ 와 같이 나타낼 수 있는데, 요는 $\theta$ 가 $y$ 에 대해 선형화가 가능하다는 것이다. 한편 $\sin \theta$ 는 사인 함수의 테일러 전개 에 따라 어떤 $f_{0}$ 와 $\beta$ 에 대해 다음과 같은 근사가 가능하다. $$ f \approx f_{0} + \beta y $$

여기서 다시 한 번 짚고 넘어가야할 것은 위도 $\theta$ 가 작다는 것, 다시 말해 적도 부근을 가정한다는 것이다. 이러한 근사는 $\beta$-평면 근사^{$\beta$-plane approximation}라고 불리기도 한다. 정확히 적도 선상에서는 코리올리 힘이 $0$ 이므로, 이론적으로는 $f_{0} = 0$ 이 되어 깔끔하게 $f = \beta y$ 로 정리된다.