📂동역학

보그다노프-타켄스 바이퍼케이션

정의 ¹

두 파라미터에 대해 호모클리닉 바이퍼케이션과 호프 바이퍼케이션의 바이퍼케이션 커브가 만나서 일어나는 바이퍼케이션을 보그다노프-타켄스 바이퍼케이션^{Bogdanov-Takens bifurcation}이라고 한다. 그 노멀 폼은 다음과 같다. $$ \begin{align*} \dot{\eta_{1}} =& \eta_{2} \\ \dot{\eta_{2}} =& \beta_{1} + \beta_{2} \eta_{1} + \eta_{1}^{2} - \eta_{1} \eta_{2} \end{align*} $$

설명

• ①: 아무런 고정점이 없다.
• ① → ②: $T_{-}$ 를 지나면서 새들 하나와 안정적인 고정점 하나가 생겨난다.
• ② → ③: $H$ 를 지나면서 안정적인 고정점의 안정성이 반전되며 리미트 사이클 하나가 생겨난다. 다시 말해, 슈퍼크리티컬 호프 바이퍼케이션이 일어난 것이다.
• $P$: 새들과 리미트사이클이 새들과 만나서 호모클리닉 오빗이 되고, 그 결과 호모클리닉 바이퍼케이션이 된다.
• ④: 새들과 리미트사이클이 떨어져서, 불안정적인 고정점과 새들 하나만 남는다. ①과 비교하자면 새들이 아닌 고정점의 안정성이 반전되었다.