📂동역학

바우틴 바이퍼케이션

정의 ¹

두 파라미터에 대해 호프 바이퍼케이션의 리미트 사이클이 리미트 사이클로써의 바이퍼케이션으로 피치포크 바이퍼케이션을 보이는 바이퍼케이션을 바우틴 바이퍼케이션^{Bautin bifurcation}이라고 한다. 그 노멀 폼은 다음과 같다. $$ \begin{align*} \dot{\rho} =& \rho \left( \beta_{1} + \beta_{2} \rho^{2} - \rho^{4} \right) \\ \dot{\phi} =& 1 \end{align*} $$ 여기서 $z = \rho e^{i \phi}$ 는 극좌표 표기법으로 나타낸 복소수다.

설명

다음과 같은 바이퍼케이션 다이어그램에서 $\beta_{1} = \beta_{2} = 0$ 인 지점을 바우틴 포인트^{Bautin point}라고 한다.

• ①: 안정적인 고정점 하나만을 가진다.
• ① → ②: $H_{-}$ 를 지나가다가 ①에서 고정점의 안정성이 반전되며 하나의 안정적인 사이클이 생긴다. 다시 말해, 슈퍼크리티컬 호프 바이퍼케이션이 일어난다.
• ②: 안정적인 사이클 하나만을 가진다.
• ② → ③: $H_{+}$ 를 지나가다가 ②에서 불안정적인 사이클이 생겨나고 기존의 불안정 고정점은 안정성을 가지게 된다. 다시 말해, 사이클로써 피치포크 바이퍼케이션이 일어난 것이다.
• ③: 두 개의 사이클이 존재한다.

바우틴 바이퍼케이션은 복수의 사이클을 조명한다는 점에서 일반화된 호프 바이퍼케이션^{generalized Hopf bifurcation}이라고도 한다.