📂유체역학

얕은 물 방정식 유도

모델 ¹

지표면에서 평균 높이 $H$ 이고 비압축성인 유체의 층을 상정하자. 그 높이에서의 변위를 $\eta$ 라 하고 동서류와 남북류를 각각 $u$ 와 $v$ 라 할 때, 유속의 지배 방정식을 다음과 같이 나타낸다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) =& 0 \\ {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - f v =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + f u =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$ 여기서 $f$ 는 코리올리 주기, $g$ 는 중력가속도다.

설명

얕은 물 방정식은 말 그대로 매우 깊은 $H$ 대신 얕은 $\eta$ 를, 유체가 비압축성이라는 전제에서 물을 반영하며 코리올리 힘을 반영하는 점에서 특히 해양 모델에 적합함을 짐작할 수 있다.

유도

수학적으로 엄밀하지는 않고 대략 어떻게 나타나는지만 파악하는 정도로 생각하자.

Part 1. 압력

나비에-스톡스 타입의 방정식에서 나타나는 우변을 먼저 고려하려고 한다. 압력은 높이 $z$ 인 지점에서 다음과 같다. $$ p = \rho g \left( H + \eta - z \right) $$ $\rho$, $g$, $H$ 를 모두 상수로 가정한다면 이의 편미분은 간단히 계산할 수 있다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial p }{ \partial x }} =& \rho g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial p }{ \partial y }} =& \rho g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$

Part 2. 비압축성

$x, y, z$ 방향으로의 속도를 $u, v, w$ 라 하자. 비압축성이라는 전제 $\nabla \cdot ( u, v, w) = 0$ 에서 다음과 같은 연속방정식으로 시작한다. $$ \nabla \cdot ( u, v, w ) = {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + {\frac{ \partial w }{ \partial z }} = 0 $$ 이를 $z = 0$ 부터 $z = H + \eta$ 까지 적분하면 미적분학의 기본정리에 따라 다음을 얻는다. $$ \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + w (\eta) - w (0) = 0 $$ 바닥에서 $z$ 방향으로의 유속은 $0$ 이므로 $w (0) = 0$ 이고, $w (\eta)$ 는 $\eta$ 에 대한 물질 미분 $D_{t} \eta$ 와 같으므로 그대로 대입하자. $$ \begin{align*} & \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + \left( H + \eta \right) {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + D_{t} \eta - 0 = 0 \\ \implies & \left( H + \eta \right) \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) + {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} = 0 \end{align*} $$ 여기에 곱의 미분법 $\left( p q \right) ' = p ' q + p q '$ 를 거꾸로 적용하면 깔끔하게 정리할 수 있다. $$ {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x }} \left[ u \left( H + \eta \right) \right] + {\frac{ \partial }{ \partial y }} \left[ v \left( H + \eta \right) \right] = 0 $$ 여기서 $u \eta$ 와 $v \eta$ 는 수심 $H$ 이 곱해진 $Hu$ 나 $Hv$ 에 비하면 대단히 작은 값이 될테니 무시할 수 있다.

Part 3. 커플링

압력에 대한 편미분이 $\eta$ 에 대한 편미분으로 대체된 나비에 스톡스 방정식은 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial u }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial u }{ \partial y }} - f v =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial x }} \\ {\frac{ \partial v }{ \partial t }} + u {\frac{ \partial v }{ \partial x }} + v {\frac{ \partial v }{ \partial y }} + f u =& -g {\frac{ \partial \eta }{ \partial y }} \end{align*} $$ 한편 $\eta$ 를 유속에 대해 나타내는 편미분방정식은 다음과 같다. $$ {\frac{ \partial \eta }{ \partial t }} + H \left( {\frac{ \partial u }{ \partial x }} + {\frac{ \partial v }{ \partial y }} \right) = 0 $$ 이들을 커플링하면 결과적으로 얕은 물 방정식이 된다.

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