📂복소해석

로랑 급수란?

빌드업

테일러 정리는 평균값의 정리를 미분 횟수에 대해 일반화한 정리다. 원래 $1$번 미분한 것만을 다루던 것에서 $n \in \mathbb{N}$ 으로 확장한 것이다. 그런데 자연수로 일반화가 가능했다면, 정수 전체로 일반화할 수는 없는껄까? 물론 미분을 $-n$ 번 할 수는 없지만, 미분과 역연산 관계에 있는 적분을 생각해면 어떨까? 아래의 로랑 정리를 증명 없이 소개한다.

$f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 의 특이점 $\alpha$ 를 중심으로 하는 두 동심원 $\mathscr{C}_{1}: |z-\alpha| = r_{1}$ 과 $\mathscr{C}_{2}: |z-\alpha| = r_{2}$ $(r_{2} < r_{1})$ 상에서 $f$ 가 해석적이라고 하자. 그러면 두 동심원 사이에 있는 모든 점들에 대해 $f$ 는 $\displaystyle f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$ 으로 나타낼 수 있다.

• $\displaystyle a_{n} = {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}_{1}} {{f(z)} \over {(z - \alpha)^{ 1 + n} }} dz \qquad , n = 0,1,2, \cdots$
• $\displaystyle b_{n} = {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}_{2}} {{f(z)} \over {(z - \alpha)^{ 1 - n} }} dz \qquad , n=1,2,3,\cdots$

정의

다음과 같은 급수꼴을 로랑 급수라고 부른다. $$ f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } } $$

설명

미분에 대해 일반화한 코시 적분 공식: 함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 하자.

$\mathscr{R}$ 내부의 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 가 어떤 점 $\alpha$ 를 둘러싸고 있다면, 자연수 $n$ 에 대해

$$ {{f^{(n)} (\alpha) } \over {n!}} = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{1+n} }} dz $$

코시 적분 공식을 사용하면 테일러 정리의 일반화라는 측면이 더욱 뚜렷하게 보일 것이다.

$$ f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} {{f^{(n)} (\alpha) } \over {n!}} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } } $$ 이러한 급수꼴에서 $\displaystyle \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } }$ 을 주부분^{principal Part}이라고 부른다. 특히 $\displaystyle {{1} \over {z-\alpha}}$ 의 계수, 즉 $b_{1}$ 은$\alpha$ 에서 $f$ 의 유수^residue라고 정의하며 $b_{1} = \text{Res}_{\alpha} f(z)$ 와 같이 나타낸다¹.