📂유체역학

회전하는 구체 위의 유체층에 대한 근사방정식

모델 ¹

하루에 한 바퀴를 회전해서 각속도가 $\Omega = 2 \pi \text{rad / day}$ 인 구체, 이를테면 천체를 둘러싼 유체의 층에서 $x$ 는 눈에서 화면으로 가는 방향(into the plane of the screen)이고, $y$ 는 북극을 향하는 방향, $z$ 는 구체 중심에서 멀어지는 방향이다. 북극에서의 각속도를 $\boldsymbol{\Omega} = \left( \Omega_{x} , \Omega_{y} , \Omega_{z} \right)$, 그리고 위도^latitude $\theta$ 에서 유속을 $(u, v, w)$ 라 하자. 보통 $u$ 를 동향^eastward, $v$ 를 북향^northward, $w$ 를 상향^upward 속도라고 한다. 유속의 지배 방정식은 나비에-스톡스 방정식 타입으로 나타냈을 때 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D u }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial x }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} u }{ \partial z^{2} }} + fv \\ {\frac{ D v }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial y }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} v }{ \partial z^{2} }} - fu \\ {\frac{ D w }{ D t }} =& - {\frac{1}{\rho_{0}}} {\frac{ \partial P }{ \partial z }} + \nu_{\mathsf{h}} \left( {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial x^{2} }} + {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial y^{2} }} \right) + \nu_{\mathsf{v}} {\frac{ \partial^{2} w }{ \partial z^{2} }} - {\frac{ g \rho }{ \rho_{0} }} \end{align*} $$ 여기서 $f := 2 \Omega \sin \theta$ 를 행성 와도^{planetary vorticity} 혹은 코리올리 주기^{Coriolis frequency}라 한다. $\nu_{\mathsf{h}}$ 와 $\nu_{\mathsf{v}}$ 는 각각 수평^horizontal과 수직^vertical으로 작용하는 에디 계수고, $\rho$ 와 $\rho_{0}$ 는 각각 밀도와 기준 밀도^{reference density}다. $P$ 는 압력이고, $g$ 는 중력가속도다.

설명

$$ \begin{align*} \Omega_{x} =& 0 \\ \Omega_{y} =& \Omega \cos \theta \\ \Omega_{z} =& \Omega \sin \theta \end{align*} $$ 우선 위도 $\theta$ 에서의 $\Omega$ 는 위와 같고, $w \ll v$ 이라는 가정 하에서 코리올리 힘은 $\Omega$ 와 유속의 외적의 두배로써 다음과 같이 근사시킬 수 있다. $$ 2 \boldsymbol{\Omega} \times \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \left( 2 \Omega \sin \theta \right) v \\ \left( 2 \Omega \sin \theta \right) u \\ - \left( 2 \Omega \cos \theta \right) u \end{bmatrix} $$ 여기서 $z$ 축 성분인 $- \left( 2 \Omega \cos \theta \right) u$ 는 중력과 압력에 비하면 거의 무시할 수 있는 수준이라는 가정 하에 $0$ 으로 취급하고, 그 힘을 나비에-스톡스 방정식의 좌변에 더해 근사방정식을 얻는다.