레이놀즈 평균화된 나비에-스톡스 방정식과 에디 점성
모델
$$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다. 여기서 $u_{k}$ 와 $p$ 는 난류를 정확하게 반영하기 어렵기 때문에 다음과 같이 평균 성분과 변동 성분으로 나누어 생각하려 하고, 이를 레이놀즈 분해Reynolds decomposition라 한다. $$ \begin{align*} u_{k} =& \bar{u}_{k} + u_{k}^{\prime} \\ p =& \bar{p} + p^{\prime} \end{align*} $$ 나비에-스톡스 방정식에 레이놀즈 분해를 적용해서 얻는 방정식을 레이놀즈 평균화된 나비에-스톡스 방정식RANS, Reynolds-averaged Navier–Stokes equations이라 한다. 크로네커델타 $\delta_{ij}$ 와 아인슈타인 표기법으로 나타내보면 다음과 같다. $$ {\frac{\partial \bar{u}}{\partial t}} + \rho \bar{u}_{j} {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j} }} = - {\frac{ \partial \bar{p} }{ \partial x_{i} }} \delta_{ij} + \mu {\frac{ \partial^{2} \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j}^{2} }} - \rho {\frac{ \partial }{ \partial x_{j} }} \left( \overline{ u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} } \right) $$ 여기서 마지막 항을 레이놀즈 응력Reynolds stress항이라 한다.
설명
RANS 방정식은 난류를 묘사하기 위해 평균화된 방정식으로, 나비에-스톡스 방정식에서 시간에 대한 유속의 평균에 대한 지배 방정식이 된다. 문제는 가뜩이나 복잡하던 나비에-스톡스 방정식이 레이놀즈 응력항이라는 혹을 달고 더 복잡해졌다는 것이다.
에디 점성
$$ - \rho \left( \overline{ u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} } \right) = \mu \left( {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{j} }} + {\frac{ \partial \bar{u}_{j} }{ \partial x_{i} }} \right) = \mu \nabla \bar{u} $$ 이를 조금이라도 단순화하기 위해 추가되는 가정으로써, 레이놀즈 응력이 평균 유속의 그래디언트에 비례한다고 두는 것을 에디 점성 가정eddy viscosity assumption이라 한다. 이 때의 비례상수 $\mu$ 를 에디 점성 계수eddy viscosity coefficient라 한다. 참고로 에디는 회오리, 소용돌이를 뜻하는 단어로써 고유명사가 아니다.
유도 1
$\mathbf{u}$ 는 충분히 미분가능해서, 미분이나 적분의 순서는 자유로이 바꿀 수 있다고 가정하자. $$ \bar{u} = \lim_{T \to \infty} {\frac{ 1 }{ T }} \int_{0}^{T} u dt $$ 우선 평균은 시간에 대한 정적분으로써 위와 같이 정의되고, 변동성분의 평균은 당연히 $\bar{u^{\prime}} = 0$ 와 $\bar{p^{\prime}} = 0$ 을 만족시켜야 한다. 이렇게 평균을 취하는 걸 일종의 오퍼레이터로 봤을 때, 이를 레이놀즈 연산자Reynolds operator라 하며 적분의 선형성에 따라 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} \bar{\bar{u}} &= \bar{u} \\ \overline{u + v} &= \bar{u} + \bar{v} \\ \overline{\bar{u} v} &= \bar{u} \bar{v} \\ \overline{\frac{\partial u}{\partial x}} &= \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} \end{align*} $$
나비에-스톡스 방정식은 비압축성을 가정하므로 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ 이고, 아인슈타인 표기법으로 나타내면 다음을 얻는다. $$ {\frac{ \partial u_{i} }{ \partial x_{i} }} = 0 \implies {\frac{ \partial \bar{u}_{i} }{ \partial x_{i} }} = 0 \implies {\frac{ \partial u_{i}^{\prime} }{ \partial x_{i} }} = 0 $$
나비에-스톡스 방정식: $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \right) \mathbf{u} = - \nabla w + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} $$
나비에 스톡스 방정식에서 한 줄을 아인슈타인 표기법으로 적어보자. $$ \frac{\partial u_{i}}{\partial t} + u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_{i}} + \nu \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j}^{2}} $$ 우리는 이제부터 항마다 레이놀즈 분해를 적용하고, 평균을 취하는 과정을 반복할 것이다. 좌변의 첫번째 항을 예로 보면 이해하기 쉽다. $$ \begin{align*} \overline{\frac{\partial u_{i}}{\partial t}} =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{i} + u_{i}^{\prime}}{\partial t}} \\ =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t}} + \overline{\frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial t}} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial \bar{u_{i}^{\prime}}}{\partial t} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \frac{\partial 0}{\partial t} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} \end{align*} $$ 이제부터는 이렇게까지 자세하지는 않지만, 그래도 가능한 한 세밀하게 반복하려 한다. 핵심은 늘어나는 항들이 $0$ 으로 변하거나 곱해지는 것에 집중하는 것이다. 좌변의 두번째 항은 비선형항인데, 체인룰을 통한 트릭을 쓰겠다. $$ \begin{align*} & \overline{u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}} \\ =& \overline{\frac{\partial u_{j} u_{i}}{\partial x_{j}}} - \overline{{\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} u_{i}}} \\ =& \overline{\frac{\partial \left( \bar{u}_{j} \bar{u}_{i} + \bar{u}_{j} u_{i}^{\prime} + u_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} + u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} \right)}{\partial x_{j}}} - \overline{{0 \cdot u_{i}}} \\ =& \overline{\frac{\partial \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}}} + \overline{\frac{\partial \left( \bar{u}_{j} u_{i}^{\prime} + u_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} \right)}{\partial x_{j}}} + \overline{\frac{\partial u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} }{\partial x_{j}}} \\ =& \frac{\partial \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \left( \bar{u}_{j} \bar{u}_{i}^{\prime} + \bar{u}_{j}^{\prime} \bar{u}_{i} \right)}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} \\ =& \bar{u}_{j} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} \end{align*} $$ 우변의 첫번째 항은 크로네커 델타가 붙는 것 외에는 그냥 넘어가도 좋다. 두번째 항은 편의 상 $\nu$ 를 떼어내고 살펴보자. $$ \begin{align*} & \overline{\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \overline{\frac{\partial^{2} \left( \bar{u}_{i} + u_{i}^{\prime} \right)}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \overline{\frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}}} + \overline{\frac{\partial^{2} u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}^{2}}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} + \frac{\partial^{2} \bar{u_{i}^{\prime}}}{\partial x_{j}^{2}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} + \frac{\partial^{2} 0}{\partial x_{j}^{2}} \\ =& \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} \end{align*} $$ 지금까지의 결과를 모두 대입하자. $$ \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t} + \bar{u}_{j} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime} u_{i}^{\prime} } }{\partial x_{j}} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{i}} \delta_{ij} + \nu \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}} $$ 현재 좌변에서 마지막에 위치한 레이놀즈 응력항을 이항하면 레이놀즈 평균화된 나비에-스톡스 방정식을 얻는다.
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