📂동역학

미카엘리스-멘텐 모델

모델 ¹

효소^enzyme와 기질^substrate $x$ 사이의 반응을 나타내는 다음의 지배 방정식을 미카엘리스-멘텐 모델^{Michaelis–Menten model}이라 한다. $$ \dot{x} = j_{x} - {\frac{V_{\max} x}{K_{m} + x}} $$

파라미터

• $j_{x}$: 기질 $x$ 의 유입 속도^{influx rate}다.
• $V_{\max}$: 효소의 최대 반응 속도^{maximum reaction rate}다.
• $K_{m}$: 미카엘리스-멘텐 상수라 불리는, 효소의 친화도^affinity를 나타내는 상수다.

설명

미카엘리스-멘텐 모델은 효소 운동역학^{enzyme kinetics}을 묘사하는 가장 기본적인 동역학계를 묘사하고 있다.

• 생물학적인 의미를 공부해본 적은 없지만 수식만 봐도 $x$ 가 적을 때는 빠르게 반응이 일어나다 $x$ 가 많아지면 포화되어 느려진다는 의미일 것임을 어렵지 않게 짐작할 수 있다.
• 동역학적인 연구에서는 $1$차원임에도 불구하고 분수항을 포함해 강력한 비선형성을 가지다 보니, 여러가지 벤치마크에 쓰여서 의외로 자주 보게 된다².

유도

직관적인 의미보다는 우변이 어쩌다 분수꼴이 되는지가 궁금해서 알아보았다. $$ E + S \overset{k_{1}}{\underset{k_{-1}}{\rightleftharpoons}} ES \overset{k_{2}}{\longrightarrow} E + P $$ 효소 $[E]$ 와 기질 $[S]$ 이 결합하여 효소-기질 복합체 $[ES]$ 를 형성하고, 다시 효소와 생성물 $[P]$ 로 분해되는 반응을 위와 같이 가정해보자. 질량작용법칙에 따라 이들의 농도를 가장 간단한 미분방정식으로 나타내면 다음과 같다. $$ {\frac{ d[ES] }{ dt }} = k_1 [E][S] - k_{-1}[ES] - k_2 [ES] $$ 이 시스템의 고정점 $d[ES]/dt = 0$ 에서 $[ES]$ 에 대해 정리하면 $K_{M} := (k_{-1} + k_2) / k_1$ 라는 상수를 통해 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. $$ [ES] = \frac{[E][S]}{K_{M}} $$ 초기의 효소 농도 $[E]_{0}$ 는 효소가 기질과 결합하여 복합체를 형성하더라도 변하지 않으므로 $[E]_{0} = [E] + [ES]$ 이라 둘 수 있다. 우리는 $[E]$ 가 아니라 기질 $[S]$ 에 관심이 있으므로 $[E]$ 를 소거하는 방향으로 수식을 다룰 것이다. $$ \begin{align*} K_{m} [ES] = & [E] [S] \\ \implies K_{m} [ES] =& ([E]_{0} - [ES]) [S] \\ \implies \left( K_{m} + [S] \right) [ES] =& [E]_{0} [S] \\ \implies [ES] =& \frac{[E]_{0} [S]}{K_{m} + [S]} \end{align*} $$ 반응 $ES \to P$, 즉 $k_{2} [ES]$ 가 반응속도이므로 양변에 $k_{2}$ 를 곱하면 $V_{\max} := k_{2} [E]_{0}$ 에 대해 다음을 얻는다. $$ k_{2} [ES] = \frac{k_{2} [E]_{0} [S]}{K_{m} + [S]} = \frac{V_{\max} [S]}{K_{m} + [S]} $$ 마지막으로 좌변은 $\dot{x}$ 으로, 우변의 $[S]$ 를 $x$ 로 바꿔주면 된다.

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