📂유체역학

부시네스크 근사

모델 ^{1 2}

나비에-스톡스 방정식에 열방정식을 도입해서 유체의 열전달과 밀도의 변화에 따른 부력^buoyancy을 반영하는 것을 부시네스크 근사^{Boussinesq approximation}라 한다. $$ \mathbf{u} = \mathbf{u} \left( t ; \mathbf{x} \right) = \left( u_{1} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{2} \left( t ; \mathbf{x} \right) , u_{3} \left( t ; \mathbf{x} \right) \right) $$ 특히, 3차원 공간에서 시점 $t$ 와 공간좌표 $\mathbf{x} = \left( x_{1} , x_{2} , x_{3} \right)$ 의 유속장을 위와 같은 속도벡터로 나타낸다고 하자. 그와 비슷하게, $p : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 은 각 좌표에서 가해지는 압력 $p = p \left( \mathbf{x} \right)$ 을 나타낸다.

유체는 비압축성이라서 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ 이고, 밀도 $\rho$ 는 상수인 기준밀도 $\rho_{0}$ 와 기준온도 $\theta_{0}$ 와 온도 $\theta : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 선형적인 함수로 나타난다고 가정하자. $$ \rho = \rho_{0} \left( 1 - \beta \left( \theta - \theta_{0} \right) \right) $$ 여기서 $\beta$ 는 상수로 가정하는 열팽창계수다. 중력가속도 $\mathbf{g} = \left( 0 , 0 , g \right)$ 에 대해, 지배 방정식은 다음과 같다. $$ \begin{align*} {\frac{ D \mathbf{u} }{ D t }} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} \nabla p + \nu \nabla^{2} \mathbf{u} + {\frac{ \rho }{ \rho_{0} }} \mathbf{g} \\ {\frac{ D \theta }{ D t }} =& \alpha \nabla^{2} \theta \end{align*} $$ 여기서 $\nabla \cdot$ 은 발산, $\nu = \mu / \rho$ 는 동점성 계수 $\mu$ 와 밀도 $\rho$ 의 비, $\alpha$ 는 열확산도다.

설명

$$ {\frac{ D }{ D t }} = {\frac{ \partial }{ \partial t }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{1} }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{2} }} + {\frac{ \partial }{ \partial x_{3} }} $$ 물질 미분 $D$ 는 $\theta$ 를 제외하고 세 개의 차원에 대해서 위와 같이 정의된다. 지배방정식을 $u = u_{1}$, $v = u_{2}$, $w = u_{3}$ 그리고 $x = x_{1}$, $y = x_{2}$, $z = x_{3}$ 으로 두어 나타내보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} {\frac{\partial u}{\partial t}} + u {\frac{\partial u}{\partial x}} + v {\frac{\partial u}{\partial y}} + w {\frac{\partial u}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial x}} + \nu \nabla^{2} u \\ {\frac{\partial v}{\partial t}} + u {\frac{\partial v}{\partial x}} + v {\frac{\partial v}{\partial y}} + w {\frac{\partial v}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial y}} + \nu \nabla^{2} v \\ {\frac{\partial w}{\partial t}} + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} =& - {\frac{ 1 }{ \rho_{0} }} {\frac{\partial p}{\partial z}} + \nu \nabla^{2} w - {\frac{ \rho g }{ \rho_{0} }} \\ {\frac{\partial \theta}{\partial t}} + u {\frac{\partial \theta}{\partial x}} + v {\frac{\partial \theta}{\partial y}} + w {\frac{\partial \theta}{\partial z}} =& \alpha \nabla^{2} \theta \\ \rho =& \rho_{0} \left( 1 - \beta \left( \theta - \theta_{0} \right) \right) \end{align*} $$

수식을 보면 $z$ 축에만 밀도와 중력에 영향을 붙는 부력항 ${ \rho g } / { \rho_{0} }$ 이 붙는 것을 확인할 수 있다. 유체는 $(u, v, w)$ 에 따라서 움직이며 이 유속에 따라 열에 관한 $\theta$ 를 수송하고, 그렇게 변한 온도가 밀도를 바꾸며 $w$ 에 영향을 주고, 이것이 결과적으로 $(u, v, w)$ 에 영향을 주는 구조를 가지고 있다.